A1  ^0.10 Найдите максимально возможное время движения $t_{\max}$. Далее будем рассматривать только движение при временах, не превосходящих $t_{\max}$.

1 Условие $t_{\max} = \dfrac{c}{a_0}$ или $t_{\max} = \dfrac{c}{a(d)}$

0.10

A2  ^0.50 Покажите, что если для двух наблюдателей в начальный момент $d_1 < d_2$, то при $t< t_{\max}$ для их координат по прежнему будет выполняться $x_1(t) < x_2(t)$.

1 Получено выражение: $$ \Delta x(t) = (d_2 - d_1) \left( 1 - \frac{{a_0^2 t^2}/{c^2}}{\left(1 + \dfrac{2 a_0 d_1}{c^2}\right) \left(1 + \dfrac{2 a_0 d_2}{c^2}\right)} \right) $$	0.20
2 Указано, что $\Delta x$ монотонно убывает со временем, поэтому достаточно доказать, что $\Delta x(t_\max) > 0$	0.10
3 Доказано, что первый не догонит второго при $t < t_\max$	0.20

A3  ^1.00 Пусть наблюдатель 1 в момент времени $t_1$ испускает световой сигнал, а наблюдатель 2 получает его в момент времени $t_2$. Ускорения наблюдателей $a_1$ и $a_2$, начальные координаты $d_1$ и $d_2$ соответственно. Покажите, что между этими временами выполняется соотношение
$$
\left(t_1 - \frac{c}{a_1} \right)^2 = \varepsilon \left( t_2 - \frac{c}{a_2}\right)^2,
$$если $d_2 > d_1$, и соотношение
$$
\left(t_1 + \frac{c}{a_1} \right)^2 = \varepsilon\left( t_2 + \frac{c}{a_2}\right)^2,
$$если $d_2 < d_1$. Выразите постоянную $\varepsilon$ через $a_1$ и $a_2$.

1 Для одного из случаев получено соотношение между временами $t_1$, $t_2$ и $d_1$ и $d_2$, например: $$ \pm c (t_2 - t_1) = x_2(t_2) - x_1(t_1) = d_2 - d_1 + \frac{a_2 t_2^2}{2} - \frac{a_1 t_1^2}{2} $$(плюс соответствует $d_2 > d_1$, а минус - $d_2 < d_1$)	0.20
2 В выражении выделены полные квадраты по $t_1$ и $t_2$: $$ \left( t_2 - \frac{c}{a_2} \right)^2 \frac{a_2}{2} - \left( t_1 - \frac{c}{a_1} \right)^2 \frac{a_1}{2} - \frac{c^2}{2} \left( \frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_1} \right) = d_1 - d_2 $$	0.20
3 Доказано требуемое выражение: $$ \left( t_1 - \frac{c}{a_1} \right)^2 = \varepsilon \left( t_2 - \frac{c}{a_2} \right)^2 $$	0.20
4 Получено значение $\varepsilon$: $$ \varepsilon = \frac{a_2}{a_1} $$	0.10
5 Указано, что второй случай получается из первого заменой $c$ на $-c$ или явно проделано вычисление для второго случая	0.30

A4  ^1.30 Для того, чтобы измерить расстояние до другого наблюдателя, наблюдатель 1 (с начальным значением координаты $d_1$) испускает в момент времени $t_A$ луч, который достигает наблюдателя 2 (с начальной координатой $d_2> d_1$) в некоторый момент времени $t_C$, отражается и возвращается к первому наблюдателю в момент времени $t_B$ (по часам лабораторной СО). Тогда наблюдатель 1 считает. что расстояние до наблюдателя 2 равно $D_{rad} = c (t_B- t_A)/2$. Выразите это расстояние через $d_1$, $d_2$, $a_0$, $c$ и покажите, что оно не зависит от $t_A$.

1 Записана пара корректных соотношений между временами $t_A$, $t_B$, $t_C$ $$ \left( t_A - \frac{c}{a_1} \right) = \left( t_C - \frac{c}{a_2} \right)\sqrt{ \frac{a_2}{a_1}}\\ \left( t_C + \frac{c}{a_2} \right) = \left( t_B + \frac{c}{a_1} \right)\sqrt{ \frac{a_1}{a_2}} $$	2 × 0.30
2 Из найденной системы уравнений исключено промежуточное значение времени $t_C$	0.30
3 Получен ответ: $$ D_{rad} =\frac{c^2}{a_0}\left( \sqrt{1 + \frac{2 a_0 d_1}{c^2}}\sqrt{1 + \frac{2 a_0 d_2}{c^2}} - 1 - \frac{2 a_0 d_1}{c^2}\right) $$	0.40

A5  ^0.30 Пусть $d_1 = d$, а $d_2 = d_1 + \Delta d$, где $\Delta d \ll d$ – положительное расстояние между наблюдателями. Выразите $D_{rad}$ в первом порядке малости по $\Delta d$ через $d$, $a_0$, $c$ и $\Delta d$.

1 Получен ответ: $$ D_{rad} = \Delta d $$

0.30

B1  ^0.20 Пусть наблюдатель движется относительно инерциальной системы отсчета со скоростью $v$. При этом в момент времени $t = 0$, $x = 0$. Выразите $x$, $t$ через $\tau$.

1 Получены выражения для $x$ и $t$: $$ x(\tau) = \frac{v \tau}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}, \qquad t(\tau) = \frac{\tau}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} $$

2 × 0.10

B2  ^0.70 Пусть некоторое событие произошло в точке с временем и координатой $(t, x)$. Определите для него значения собственного времени $\tau_1$, $\tau_2$. Для простоты можете провести вычисления только для случая, когда событие произошло справа от наблюдателя.

1 Записаны выражения для пути светового сингала: $$ \left\{\begin{gathered} x - x(\tau_1) = c (t - t(\tau_1))\\ x - x(\tau_2) = c (t(\tau_2) - t) \end{gathered}\right. $$	2 × 0.15
2 Получены выражения для $\tau_1$ и $\tau_2$: $$ \tau_1 = \frac{(c t - x)\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}{c - v}, \qquad \tau_2 = \frac{(ct + x)\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}{c + v} $$	2 × 0.20

B3  ^0.40 Покажите, что определенные таким образом время и координата $(T, X)$ совпадают с временем и координатой в инерциальной СО, движущейся со скоростью $v$ относительно исходной СО.

1 Получены выражения для $X$ и $T$: $$ X = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}, \qquad T = \frac{t - \dfrac{x v}{c^2}}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} $$

2 × 0.20

C1  ^0.80 Покажите, что при подходящем выборе начальных условий для такого наблюдателя зависимость координаты и времени от собственного времени имеет вид
$$
x = A \operatorname{ch} \alpha\tau, \qquad t = B \operatorname{sh}\alpha \tau.
$$Определите значения постоянных $A$, $B$, $\alpha$. Выразите ответ через $g$, $c$.

1 Записано выражение для изменения скорости в сопутствующей СО: $$ dv' = g d\tau = c d\theta, $$	0.15
2 Записано выражение для перемещения наблюдателя в ЛСО: $$ dx = c \cdot \operatorname{th} \left(\frac{g\tau}{c}\right) \cdot dt $$	0.15
3 Записано преобразование Лоренца для времени: $$ d\tau = \frac{dt}{\operatorname{ch} \dfrac{g\tau}{c}} $$(Либо записана формула сложения быстрот)	0.20
4 Получены выражения для постоянных $A$, $B$ и $\alpha$: $$ A = \frac{c^2}{g}, \qquad B = \frac{c}{g}, \qquad \alpha = \frac{g}{c} $$	3 × 0.10

C2  ^1.50 Пусть в момент времени $t$ в точке с координатой $x$ произошло некоторое событие.
Эти координаты $(t, x)$ можно выразить через $X$ и $T$ (определенные для наблюдателя из $\mathbf{C1}$ способом, описанным во введении к части $\mathbf{B}$) следующим образом:
$$x = A f(X) \operatorname{ch} \alpha T, \qquad t = B f(X) \operatorname{sh} \alpha T,
$$где $A$, $B$, $\alpha$ – постоянные, определённые в предыдущем пункте, а $f(X)$ – некоторая функция координаты $X$. Таким образом, пару чисел можно рассматривать как координаты события в неинерциальной системе отсчета. Однако оказывается, что изменяя значения $T$, $X$ можно получить не все координаты $(t, x)$. Это связано с тем, что сигнал от некоторых событий никогда не достигает наблюдателя.

Выразите функцию $f(X)$ через $g$ и $c$. Для простоты можете ограничиться случаем, когда событие произошло справа от наблюдателя. Если событие находится слева от наблюдателя, вид зависимости $(t, x)$ от $(T, X)$ такой же. Изобразите в координатах $(x, t)$ область пространства-времени, которая покрывается координатами $(X,T)$, когда они меняются от $-\infty$ до $+\infty$.

1 Записаны выражения для пути светового сингала: $$ \left\{\begin{gathered} x - x(\tau_1) = c (t - t(\tau_1))\\ x - x(\tau_2) = c (t(\tau_2) - t) \end{gathered}\right. $$	2 × 0.10
2 Получены выражения для $x$ и $t$ через $\tau_{1,2}$, например: $$ x = \frac{c^2}{2g} \left[ \operatorname{ch} \left(\frac{g\tau_1}{c}\right) + \operatorname{ch} \left(\frac{g\tau_2}{c}\right) - \operatorname{sh} \left(\frac{g\tau_1}{c}\right) + \operatorname{sh} \left(\frac{g\tau_2}{c}\right) \right],\\ t = \frac{c}{2g} \left[ - \operatorname{ch} \left(\frac{g\tau_1}{c}\right) + \operatorname{ch} \left(\frac{g\tau_2}{c}\right) + \operatorname{sh} \left(\frac{g\tau_1}{c}\right) + \operatorname{sh} \left(\frac{g\tau_2}{c}\right) \right] $$	2 × 0.20
3 Получены выражения для $\tau_{1,2}$ через $X$ и $T$: $$ \tau_1 = T - \frac{X}{c}, \qquad \tau_2 = T + \frac{X}{c} $$	2 × 0.05
4 Уравнения для $x$, $t$ приведены к требуемому в условии виду	0.30
5 Получен ответ: $$ f(X) = \exp\left(\frac{Xg}{c^2}\right) $$	0.20
6 Изображена верная область $(x, t)$, покрываемая $(X, T)$	0.30

C3  ^0.50 Напомним, что интервалом между двумя бесконечно близкими событиями называется величина, квадрат которой равен $ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2$. Покажите, что интервал между двумя близкими событиями можно записать в виде
$$
ds^2= F(X, T) (c^2 dT^2 - dX^2).
$$Найдите функцию $F(X, T)$. В ответ могут входить $g$, $c$.

1 Получены выражения для дифференциалов $dx$ и $dt$: $$ dx = \frac{c^2}{g} \cdot \exp\left(\frac{Xg}{c^2}\right) \cdot \left(\operatorname{sh} \left(\frac{gT}{c}\right) \frac{gdT}{c} + \operatorname{ch} \left(\frac{gT}{c}\right) \frac{gdX}{c^2}\right),\\ dt = \frac{c}{g} \cdot \exp\left(\frac{Xg}{c^2}\right) \cdot \left( \operatorname{ch} \left(\frac{gT}{c}\right) \frac{gdT}{c} + \operatorname{sh} \left(\frac{gT}{c}\right) \frac{gdX}{c^2}\right), $$	2 × 0.15
2 Получен ответ: $$ F(X, T) = \exp\left(\frac{2gX}{c^2}\right) $$	0.20

C4  ^0.70 В построенной таким образом системе координат естественно считать неподвижными тела, для которых $X= \operatorname{const}$. Покажите, что такие тела движутся с постоянным ускорением в сопутствующей СО, выразите это ускорение $a(X)$ через $X$, $g$, $c$. Таким образом, можно считать, что система отсчета образована наблюдателями, которые движутся по законам, определяемым условием $X = \operatorname{const}$.

1 Явно указана аналогия между уравнениями движения тела, заданными уравнениями $X = \text{const}$ и уравнениями равноускоренного движения	0.30
2 Доказано, что уравнение $X = \text{const}$ задает равноускоренное движение	0.30
3 Получено выражение для $a(X)$: $$ a(X) = g \cdot \exp\left(- \frac{gX}{c^2} \right) $$	0.10

C5  ^0.70 Пусть наблюдатель с координатой $X_0$ в момент $T_0$ испускает световой луч в положительном направлении оси $x$. Как для этого луча будет зависеть $X$ от $T$ в последующие моменты?

1 Указано, что для света интервал равен нулю $$ ds^2 = 0 $$	0.30
2 Получен ответ: $$ X = X_0 + c(T - T_0) $$	0.40

C6  ^1.30 Пусть наблюдатель с координатой $X_1$ в момент $T_1$ испускает свет с длиной волны $\lambda_1$ (в сопутствующей СО наблюдателя). Определите длину волны $\lambda_2$, которую измерит наблюдатель с координатой $X_2$ в своей сопутствующей CО. Считайте, что для наблюдателей $X_1, X_2 = \operatorname{const}$.

1 Указано, что длина волны изменяется из-за эффекта Доплера	0.20
2 Записана формула для изменения длины волны при эффекте Доплера $$ \lambda' = \lambda \sqrt{\frac{1-\beta}{1+ \beta}} $$или аналогичная.	0.30
3 Получено выражение для скорости или $\gamma$ фактора для наблюдателя с заданным $T$	0.30
4 Выражено время $T_2$ приёма вторым наблюдателем светового луча: $$ T_2= T_1 + \frac{X_2 - X_1}{c} $$	0.20
5 $$ \lambda_2 = \lambda_1 e^{g(T_2 - T_1)/c} = \lambda_1 e^{g(X_2 - X_1)/c^2} $$	0.30