Вертикальный полубесконечный сплошной однородный диэлектрический цилиндр радиуса $R$ заряжен с постоянной по объёму плотностью заряда $\rho$.
От цилиндра отрезали тонкий диск толщиной $d$ $(d \ll R)$, затем прислонили его обратно и отпустили (см. рис. $1$). Диск остался неподвижным, причём оказалось, что единственная сила взаимодействия между диском и цилиндром — это сила электростатического отталкивания, равная по модулю
$$F_0 = \frac{4}{3}\frac{\rho^2 R^3 d}{\varepsilon_0}.$$

1 Найдите плотность материала цилиндра $D$.

2 Диску сообщают такую скорость $v_0$, направленную вертикально вверх, что он совершает малые колебания, двигаясь поступательно. Определите период этих колебаний.

Далее от диска отрезали небольшое кольцо и удалили его. При этом центр диска остался на оси цилиндра, а новый радиус составляет $R' = R - \Delta R$, где $\Delta R \ll R$.

3 Определите положение равновесия диска радиуса $R'$. В ответе укажите ширину зазора $z_0$ между диском и цилиндром в положении равновесия.

4 Пусть диск радиуса $R'$ находится в положении равновесия. Определите период малых колебаний диска при его поступательном движении вдоль оси цилиндра после сообщения такой же скорости $v_0$ направленной вертикально вверх. Если вы не выполнили пункт 3, считайте $z_0 > 0$ известной величиной.

Примечания.  Ускорение свободного падения равно $g$. Считайте, что диск может двигаться только поступательно вдоль оси симметрии системы, а основания диска горизонтальны. Все силы трения отсутствуют. Любые возможные соударения абсолютно упругие. Гравитационное взаимодействие диска и цилиндра, магнетизм и электромагнитное излучение не учитывать. Диэлектрик считайте неполяризующимся.