Из симметрии системы относительно оси цилиндра следует, что сила электростатического взаимодействия между цилиндром и диском всегда направлена вдоль этой оси. Поскольку сила реакции опоры равна нулю, а диск неподвижен, сила $F_0$ полностью уравновешена силой тяжести, $F_0 = mg$. Масса диска выражается через его плотность $D$ и размеры как:
$$
M = \pi R^2 d D.
$$Отсюда получим
$$
\frac{4}{3}\frac{\rho^2 R^3 d}{\varepsilon_0} = \pi R^2 dDg,
$$а значит, плотность равна
При удалении диска от поверхности цилиндра действующая на него сила электростатического отталкивания уменьшается, поэтому возникает результирующая сила, направленная к цилиндру. Найти эту силу можно несколькими способами.
Первый способ
Введём совпадающую с осью симметрии координатную ось $\mathrm{O}z$ с началом в центре торца цилиндра, так что положение тонкого диска в пространстве задаётся координатой $z$ центра его нижнего основания. Пусть диск сдвинут на небольшое расстояние $z \ll R$ вдоль оси. Мысленно заполним всё свободное пространство между диском и цилиндром материалом цилиндра. Тогда сила $F_0$, действующая на диск, будет такой же, как и в положении прямо у торца цилиндра. Поэтому сила $F_0$ уменьшилась на силу взаимодействия двух тонких дисков: исходного и вспомогательного высотой $z$ и плотностью заряда $\rho$,
$$F\left(z\right) = F_0 - \Delta F\left(z\right).$$
Вычислим силу взаимодействия двух тонких дисков, прислонённых друг к другу вплотную. Для всех точек одного из дисков, находящихся далеко от края, можно приближенно рассматривать второй диск как бесконечную плоскость, так что нормальная напряженность электрического поля будет равна полю бесконечной плоскости с плотностью заряда $\sigma = \rho z$:
$$E_n = \frac{\rho z}{2\varepsilon_0}.$$Это приближение не применимо только для точек на расстоянии порядка $z$ от края диска, поэтому при малых $z$ им можно пренебречь. Эта напряжённость действует на заряд на другом диске. Тогда
$$\Delta F = \frac{\rho z}{2\varepsilon_0}\cdot \pi R^2 d\rho = \frac{\pi \rho^2 d R^2}{2\varepsilon_0}z.$$
Второй способ
Нормальная составляющая силы, действующей на небольшую плоскую площадку $\Delta S$ с поверхностной плотностью заряда $\sigma$, связана с потоком электрического поля $\Delta \Phi = E_n \Delta S$ через эту площадку (индекс $n$ означает компоненту, нормальную к площадке):
$$\Delta F_{n} = \sigma E_n \Delta S = \sigma \Delta \Phi.$$В нашем случае поверхностная плотность заряда постоянна и равна $$\sigma = \rho d,$$так что суммируя силы, действующие на разные участки поверхности диска, получим полную силу $$F = F_n = \sigma \Phi = \rho d\Phi,$$где $\Phi$ – поток электрического поля через поверхность диска.
При перемещении диска вдоль оси изменяется и поток через него, так что поток и сила — функции координаты, то есть $$\Phi = \Phi\left(z\right);~~F = F\left(z\right) = \rho d\Phi\left(z\right).$$ Для вычисления изменения потока используем теорему Гаусса. Рассмотрим цилиндр $\Gamma$ радиуса $R$, высоты $z \ll R$, расположенный торцом к торцу с бесконечным цилиндром и соосный с ним. В отсутствие диска в $\Gamma$ нет зарядов, так что суммарный поток через него должен быть нулевым. Выберем положительным направление потока в цилиндр $\Gamma$. Через торец, прилежащий к цилиндру, заходит поток $\Phi\left(0\right),$ через противоположный торец выходит поток $\Phi\left(z\right),$ а через боковую поверхность выходит поток $E_r\cdot 2\pi R z$, где $E_r$ — радиальная напряжённость полубесконечного цилиндра на расстоянии $R$ от центра. Итак, теорема Гаусса для цилиндра $\Gamma$ записывается следующим образом:
$$\Phi\left(0\right) - \Phi\left(z\right) - 2\pi R E_r z = 0, $$откуда
$$
\Phi\left(z\right) = \Phi\left(0\right) - 2\pi R E_r z.
$$
Вычислим значение $E_r$. Заметим, что при добавлении второй половинки бесконечного цилиндра получается бесконечный уже в обе стороны цилиндр плотностью заряда $\rho$ с разрезом высоты $2z$, поправка к радиальной напряжённости от которого пропорциональна смещению диска $z$ и в рамках малых колебаний ($z \ll R$) пренебрежимо мала. Таким образом, в первом приближении $E_r$ составляет половину напряжённости $E$ от бесконечного в обе стороны цилиндра с плотностью заряда $\rho$, которую можно получить из теоремы Гаусса:
$$
E \cdot 2\pi R l = \frac{\rho \pi R^2l}{\varepsilon_0},
$$откуда
$$
E = \frac{\rho R}{2\varepsilon_0}, \quad E_r = \frac{\rho R}{4\varepsilon_0}.$$Окончательно для силы получим такое же выражение
$$
F_z = \rho d \left( \Phi_0 - 2 \pi R \frac{\rho R}{4 \varepsilon_0}\right) = F_0 - \frac{\pi \rho^2 R^2 d}{2 \varepsilon_0} z.
$$
Согласно второму закону Ньютона, запишем уравнение движения диска:
$$M\ddot{z} = -Mg + F\left(z\right) = -\frac{\pi \rho^2 dR^2}{2\varepsilon_0}z$$или $$\ddot{z} + \frac{\pi \rho^2 dR^2}{2 M \varepsilon_0}z = 0.$$Подставив сюда выражение для массы цилиндра через электростатическую силу $M = F_0/g$, получим уравнение гармонических колебаний
$$\ddot{z} + \frac{3\pi}{8}\frac{g}{R}z = 0,$$циклическая частота которых
$$\omega_0 = \sqrt{\frac{3\pi}{8}\frac{g}{R}}.$$Однако важно принять во внимание упругое соударение диска с цилиндром, так как из-за него период уменьшается вдвое: диск начинает движение из положения равновесия $z = 0$, возвращается в него через время $\pi/\omega_0$, соударяется с цилиндром, после чего все движение повторяется. Таким образом, так как положение устойчивого равновесия диска находится в точке $z = 0$, а движение в области $z < 0$ невозможно, ответ не зависит от величины $v_0$. Окончательно
Изменение радиуса диска приводит к изменению обеих движущих сил: силы тяжести и электростатической силы. Изменение силы тяжести равно
$$\Delta \left(mg\right) = g \Delta m = Dg \Delta V = \pi d Dg \Delta R^2 = 2\pi dgDR \Delta R,$$ где учтено $\Delta R \ll R$.
Перейдём к вычислению изменения электростатической силы. Сила, действующая на исходный диск равна сумме сил, действующих на кольцо ширины $\Delta R$ и на диск радиуса $R'$. Поэтому величина силы, действующей на диск радиуса $R'$ будет меньше на величину силы электростатического отталкивания $\Delta F$ кольца от цилиндра
$$F = F_0 - \Delta F.$$Таким образом, нам нужно найти силу взаимодействия кольца ширины $\Delta R$ и полубесконечного цилиндра. Это можно сделать различными способами.
Прямое интегрирование
Система симметрична относительно оси $z$ цилиндра, поэтому сила, действующая на кольцо, также будет направлена вдоль оси $z$. Найдем составляющую электрического поля $E_z$, которую полубесконечный цилиндр создает в некоторой точке на своей границе. Для этого выберем некоторый объем внутри цилиндра $dV$, он дает вклад в напряженность электрического поля
$$
dE_z = - \frac{\rho}{4\pi \varepsilon_0} \frac{z}{(z^2 + (\vec{R} - \vec{r})^2)^{3/2}} dV,
$$
где элемент объема $dV = dz dS$, а интегрирование по $\vec{r}$ производится по диску $|\vec{r} |< R$, а $\vec{R}$ – радиус-вектор рассматриваемой точки на краю диска. Тогда электрическое поле имеет вид
$$
E_z = -\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \rho \int dS \int\limits_{-\infty}^{0} dz \frac{z}{(z^2 + (\vec{R} - \vec{r})^2)^{3/2}}.
$$Теперь интеграл по $z$ можно вычислить элементарно:
$$
-\int\limits_{-\infty}^{0} \frac{z dz}{(z^2 + (\vec{R} - \vec{r})^2)^{3/2}} = -\int\limits_{-\infty}^{0} \frac{d(z^2/2)}{(z^2 + (\vec{R} - \vec{r})^2)^{3/2}} =
\left. \frac{1}{\sqrt{z^2 + (\vec{R} - \vec{r})^2}}\right|_{-\infty}^{0} = \frac{1}{|\vec{R} - \vec{r}|}.
$$Таким образом, остается вычислить интеграл по площади диска
$$
E_z = \frac{\rho}{4\pi \varepsilon_0}\int dS \frac{1}{|\vec{R} - \vec{r}|}.
$$Тогда искомая сила будет иметь вид
$$
\Delta F = q_1 E_z,
$$где $q_1 = 2\pi \rho R \Delta Rd$ – заряд кольца.
Энергетический метод
Воспользуемся методом виртуальных перемещений. Возьмём вначале исходный диск радиуса $R$, прислонённый к торцу цилиндра, и мысленное передвинем его вдоль оси на расстояние $\delta l$. Тогда мы совершим работу, которую обозначим за $$A = -F_0 \delta l.$$ Эта работа идёт на изменение потенциальной энергии системы. Мысленно заполним освободившийся объём $$V = \pi R^2 \delta l$$ веществом цилиндра и получим исходную потенциальную энергию системы. Таким образом заключаем, что энергия взаимодействия уменьшилась на величину $$\Delta E = -A,$$ которая равна энергии взаимодействия двух тонких дисков радиусами $R$ и $R$, вплотную прислонённых друг к другу.
Теперь аналогично применим метод виртуальных перемещений для диска меньшего радиуса $R'$. Пусть при перемещении его вдоль оси на расстояние $\delta l$ мы совершили работу $$A' = -F\delta l = -\left(F_0 - \Delta F\right)\delta l = -F_0 \delta l + \Delta F \delta l.$$ Аналогично заметим, что по модулю эта работа равна энергии $\Delta E'$ взаимодействия двух дисков: одного радиуса $R$ и высоты $\delta l$, а другого радиуа $R'$ и высоты $d$.
Для вычисления $\Delta F$ вычтем одно из другого уравнения, полученные методом виртуальных перемещений: $$\Delta F \delta l = A' - A = \Delta E - \Delta E'.$$ Заметим, что разность энергий $$\Delta E - \Delta E'$$ равна энергии взаимодействия диска радиусом $R$ и высотой $\delta l$ с кольцом высоты $d$, внутренний и внешний радиусы которого равны $R'$ и $R$ соответственно. Эта энергия может быть вычислена напрямую. Поскольку $\Delta R \ll R$, все точки кольца расположены практически на границе диска, и задача сводится к задаче о вычислении потенциала равномерно заряженного диска на его краю.
Для диска с поверхностной плотностью заряда $\sigma$ участок площади $dS$, его вклад в потенциал будет иметь вид
$$
d \varphi = \frac{\sigma dS}{4 \pi \varepsilon_0 |\vec{R} - \vec{r}|},
$$а сам потенциал представляется в виде интеграла
$$
\varphi = \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac{dS}{|\vec{R} - \vec{r}|}.
$$Заметим, что задача свелась к в точности такому же интегралу, что и в первом методе.
Будем интегрировать в полярных координатах. Введём начало отсчёта в точке на краю диска, а за начальное направление (направление с нулевым углом) выберем направление касательной к окружности сечения диска. Положение точки на диске характеризуется двумя координатами: радиус-вектором $r$ и углом поворота $\theta$ радиус-вектора относительно начального направления. В терминах малых приращений ${d}r$ и ${d}\theta$ элементарный элемент площади записывается как $$dS = r{d}r{d}\theta.$$ Тогда приращение потенциала от этого элемента площади (заряда) может быть записано как
$$d \varphi = k\frac{dq}{r} = k\frac{\sigma dS}{r} = k\sigma \frac{r{d}r{d}\theta}{r} = k\sigma{d}r d\theta.$$Нам необходимо взять интеграл по всему диску. Интегрировать будем по каждой из переменных по очереди.
Первый способ
Вначале проинтегрируем по $r$ и найдём потенциал, который образует в своей вершине треугольник с высотой $r_\max\left(\theta\right) = 2R\sin \theta$ и малым основанием $r_{max}\left(\theta\right){d}\theta.$ Этот потенциал равен
$${d}\varphi = k\sigma \sin \theta{d}\theta= \frac{\sigma R}{2\pi \varepsilon_0}\sin \theta{d}\theta.$$
Затем полученное выражение проинтегрируем по углу $\theta$ в пределах от $0$ до $\pi$, поскольку именно такие значения принимает $\theta$ для точек диска:
$$\varphi = \frac{\sigma R}{2\pi\varepsilon_0}\int_0\limits^{\pi}\sin \theta\, d\theta = \frac{\sigma R}{\pi \varepsilon_0}.$$
Второй способ
Вначале проинтегрируем по $\theta$ и найдём, какой потенциал образует часть дуги окружности радиуса $r$ в центре закругления. Расстояние от него до любой точки дуги одинаково и равно $r$. Тогда потенциал $d\varphi$ от дуги окружности радиуса $r$ равен
$$d\varphi = \int\limits_{\theta_{min}}^{\theta_{max}}\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\sigma r {d}r}{r}{d}\phi = \frac{\sigma{d}r}{4\pi \varepsilon_0} \int\limits_{{\arcsin}\left(\frac{r}{2R}\right)}^{\pi -{\arcsin}\left(\frac{r}{2R}\right)} {d}\phi = \sigma\frac{\pi - 2{\arcsin}\left(\frac{r}{2R}\right)}{4\pi \varepsilon_0}{d}r.$$
Осталось лишь проинтегрировать по $r$ в пределах от $0$ до $2R$. Последнее значение соответствует наиболее удалённой от точки $\mathrm{P}$ точке диска.
$$\varphi = \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0}\int_{0}^{2R}\left(\pi - 2{\arcsin}\left(\frac{r}{2R}\right)\right){d}r.$$Воспользуемся техникой интегрирования по частям.
$$\varphi = \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0}\left[2\pi R - 2r\arcsin \left(\frac{r}{2R}\right) \Bigg|_0^{2R} +2\int_0^{2R}\frac{r/2R}{\sqrt{1 - \left(\frac{r}{2R}\right)^2}} {d}r\right] = -\frac{\sigma R}{\pi \varepsilon_0} \sqrt{1 - \left(\frac{r}{2R}\right)^2}\Bigg|_0^{2R} = \frac{\sigma R}{\pi \varepsilon_0}.$$
Итак, выражение для потенциала на краю тонкого диска имеет вид $$\varphi = \frac{\sigma R}{\pi \varepsilon_0}.$$
Энергия взаимодействия диска с кольцом, которая равна работе искомого изменения силы, согласно определению потенциала, может быть выражена через произведение заряда кольца на потенциал на краю диска. В нашем случае эффективная поверхностная плотность заряда диска $\sigma$ и эффективная линейная плотность заряда кольца $\lambda$ равны $$\sigma = \rho \delta l;~~~\lambda = d\Delta R.$$Таким образом, $$\Delta F \delta l = \varphi \delta q = \frac{\rho R}{\pi \varepsilon_0}2\pi Rd \Delta R \delta l,$$или, сокращая,
$$\Delta F = \frac{2\rho^2 d R^2}{\varepsilon_0}\Delta R.$$
Наконец, определим положение равновесия диска $R’$. Для этого, аналогично пункту 2, вычислим значение $F(z)$ электростатической силы $F$ в точке $z \ll R.$
Переместим диск радиуса $R’$ в точку $z$ и мысленно заполним освободившееся пространство материалом цилиндра. Тогда можно сделать вывод о том, что электростатическая сила изменилась ровно на величину силы взаимодействия двух тонких дисков разных радиусов. Аналогично идее пункта 2, получаем выражение для этой силы:
$$F(z) = F(0) - \frac{\rho z}{2 \varepsilon_0}\pi R’^2d\rho = F_0 - \Delta F - \frac{\pi d \rho^2(R- \Delta R)^2}{2\varepsilon_0}z.$$
Запишем уравнение движения диска меньшего радиуса, полагая его массу равной $m’$.
$$m’\ddot{z} = F(z) - m’g = F_0 - \Delta F - \frac{\pi d \rho^2(R- \Delta R)^2}{2\varepsilon_0}z - mg + 2\pi dgDR \Delta R. $$С учётом $$F_0 = mg$$ упростим уравнение, подставив выражение для плотности:
$$m'\ddot{z} = \pi d (R-\Delta R)^2D\ddot{z} = -\frac{2\rho^2 d R^2}{\varepsilon_0}\Delta R - \frac{\pi d \rho^2 (R - \Delta R)^2}{2\varepsilon_0}z + 2\pi dgDR\Delta R$$$$\ddot{z} = -\frac{2\rho^2}{\pi D \varepsilon_0}\Delta R - \frac{\rho^2}{2D\varepsilon_0} z + \frac{2g}{R}\Delta R = - \frac{3g}{2R}\Delta R - \frac{3\pi g}{8R}z + \frac{2g}{R}\Delta R = \frac{g}{2R}\Delta R - \frac{3\pi}{8}\frac{g}{R}z.$$Положение равновесия $z_0$ определяется условием $$\ddot{z}(z_0) = 0,$$так что $z_0$ является решением уравнения
$$\ddot{z}(z_0) = \frac{g}{2R}\left(\Delta R - \frac{3\pi}{4}z_0\right) = 0.$$
В отсутствие контакта с поверхностью цилиндра уравнение движения диска выглядит так: $$\ddot{z} + \frac{3\pi}{8}\frac{g}{R}z - \frac{g}{2R}\Delta R = 0.$$Это уравнение с точностью до аддитивной постоянной совпадает с уравнением гармонических колебаний с циклической частотой $$\omega_0 = \sqrt{\frac{3\pi}{8}\frac{g}{R}},$$ так что общее решение может быть записано сразу.
$$z(t) = C_1 {\sin}\left(\sqrt{\frac{3\pi}{8}\frac{g}{R}}t\right) + C_2{\cos}\left(\sqrt{\frac{3\pi}{8}\frac{g}{R}}t\right) + \frac{4}{3\pi}\Delta R.$$Вычислим константы $C_1$ и $C_2$ с помощью начальных условий:
$$
\begin{cases}
z(0) = \frac{4}{3\pi}\Delta R = C_1{\sin}(0) + C_2{\cos}(0) + \frac{4}{3\pi}\Delta R,\\
\dot{z}(z) = v_0 = \sqrt{\frac{3\pi}{8}\frac{g}{R}}C_1 {\cos}(0) - \sqrt{\frac{3\pi}{8}\frac{g}{R}}C_2{\sin}(0).
\end{cases}
~\Rightarrow~
\begin{cases}
C_1 = v_0 \sqrt{\frac{8}{3\pi}\frac{R}{g}},\\
C_2 = 0.
\end{cases}$$
Итак, в отсутствие контакта с цилиндром диск совершает гармонические колебания вокруг положения равновесия $z_0$ с циклической частотой $\omega_0$, а зависимость координаты $z$ от времени выглядит как $$z(t) = \frac{4}{3\pi}\Delta R + v_0\sqrt{\frac{8}{3\pi}\frac{R}{g}}{\sin}\left(\sqrt{\frac{3\pi}{8}\frac{g}{R}}t\right).$$Заметим, что модуль скорости $v_0$ непосредственно определят амплитуду колебаний. При малых $v_0$ возможно описанное движение диска без контакта с поверхностью цилиндра, однако при бОльших амплитудах будут происходить упругие соударения и период колебаний изменится.
Вычислим критическое значение $v_0$, при котором начинают происходить соударения диска и цилиндра. Амплитуда синуса должна быть равна расстоянию от положения равновесия до ограничивающей поверхности $z = 0.$
$$v_{0}^{\text{крит}} \sqrt{\frac{8}{3\pi}\frac{R}{g}} = \frac{4}{3\pi}\Delta R~\Leftrightarrow~v_0^{\text{крит}} = \sqrt{\frac{2}{3\pi}\frac{g}{R}}\Delta R.$$Тогда в случае $v_0 < v_0^{\text{крит}}$ диск проходит полное колебания, а ответ для периода $$T' = 2T =2\pi \sqrt{\frac{8}{3\pi}\frac{R}{g}}$$
Рассмотрим случай $v_0 > v_0^{\text{крит}}$. Заметим, что одну половину колебаний (в неограниченную сторону — от цилиндра) диск проходит без внешних вмешательств. Рассмотрим ранее симметричную ей часть колебаний. При достижении координаты $z = 0$ диск моментально разворачивается без потери энергии и совершает движение в обратную сторону. Вычислим время $t_0,$ необходимое для движения от $z_0$ до $z = 0$.
$$z(t_0) = 0 = \frac{4}{3\pi}\Delta R + v_0\sqrt{\frac{8}{3\pi}\frac{R}{g}}{\sin}\left(\sqrt{\frac{3\pi}{8}\frac{g}{R}}t_0\right).$$Тогда, применяя обратную тригонометрическую функцию,
$$t_0 = \sqrt{\frac{8}{3\pi}\frac{R}{g}}{\arcsin}\left(\sqrt{\frac{2}{3\pi}\frac{g}{R}}\frac{\Delta R}{v_0}\right).$$
Ниже можно увидеть графики зависимостей координаты диска от времени для разных начальных скоростей.
В качестве наглядной иллюстрации изобразим движение при разных $v_0$ на фазовой диаграмме $(z/z_0; \dot{z}/v_0^{крит})$. При превышении критической скорости колебанию начинает соответствовать только часть полной окружности, вследствие чего период сокращается.
С учётом симметричности фазовой диаграммы относительно оси $\dot{z} = 0,$ мы наконец имеем ответ для периода.
Изобразим график зависимости периода $T'$ от значения $v_0$.
