| 1 Указано, что сила тяжести уравновешивается силой электростатического отталкивания | 0.50 |
|
| 2 Ответ $$D = \frac{4}{3\pi}\frac{\rho^2R}{\varepsilon_0 g}$$ | 0.50 |
|
| 1 M1 Идея вычисления зависимости силы от $z$: изменение силы равно силе взаимодействия диска с вспомогательным диском высоты $z$ | 0.50 |
|
| 2 M1 Указано, что поле диска высоты $z$ можно приблизить полем бесконечной плоскости | 0.50 |
|
| 3 M2 Идея вычисления зависимости силы от $z$: сила, действующая на диск, выражена через поток электрического поля через него | 0.50 |
|
|
4
M2
С помощью теоремы Гаусса изменение потока через диск выражено через поток электрического поля через край цилиндра $\Phi_{\text{бок}}$ $$ \Phi\left(z\right) = \Phi\left(0\right) - \Phi_{\text{бок}} $$ |
0.50 |
|
|
5
Получена правильная зависимость силы от $z$ в линейном приближении $$\Delta F = \frac{\pi \rho^2 d R^2}{2\varepsilon_0}z$$ |
0.50 |
|
| 6 Найдена циклическая частота колебаний $$\omega_0 = \sqrt{\frac{3\pi}{8}\frac{g}{R}}$$ | 0.50 |
|
| 7 Корректно учтены упругие удары при колебаниях | 0.50 |
|
| 8 Ответ (засчитывается также если правильный ответ выражен через массу диска) $$T = \pi \sqrt{\frac{8}{3\pi}\frac{R}{g}}$$ | 0.50 |
|
| 1 Указано или явно используется, что электростатическая сила, действующая на диск радиуса $R'$ равна электростатической силе, действующей на исходный диск минус сила, действующая на кольцо | 0.50 |
|
| 2 M1 Вычисление силы, действующей на кольцо ширины $\Delta R$: корректно записан интеграл для электрического поля на краю цилиндра | 0.50 |
|
| 3 M1 Вычислен интеграл по координате $z$ и задача сведена к интегралу по диску | 0.50 |
|
| 4 M2 Вычисление силы, действующей на кольцо: сила выражается через производную энергии по координате | 0.50 |
|
| 5 M2 Вычисление силы, действующей на кольцо: задача сведена к задаче о вычислении потенциала на краю диска | 0.50 |
|
| 6 M3 В решении используется, что электростатическая сила, действующая на кольцо, пропорциональна $\Delta R$ с правильным по размерности коэффициентом (без вычисления правильного численного коэффициента) | 0.50 |
|
| 7 Вычисление интеграла по диску: корректный выбор координат | 0.50 |
|
| 8 Значение потенциала на краю диска или значение эквивалентного интеграла | 1.00 |
|
| 9 Корректно учтено изменение силы тяжести за счет изменения массы | 0.50 |
|
| 10 Записано условие равновесия с учетом всех сил (сила тяжести, сила отталкивания с учетом зависимости от $z$ и от $\Delta R$) | 0.50 |
|
| 11 Ответ $$z_0 = \frac{4}{3\pi}\Delta R$$ | 1.00 |
|
| 12 Если засчитаны баллы за третий метод, и получено правильное значение $z_0$, отвечающее указанному там коэффициенту | 0.50 |
|
| 1 Показано, что частота гармонических колебаний не поменялась в нулевом приближении по $\Delta R$ | 0.50 |
|
| 2 Найдена амплитуда колебаний | 0.50 |
|
| 3 Указано условие, при котором не будет соударений с цилиндром | 0.60 |
|
| 4 Выражены времена соударений с цилиндром | 0.80 |
|
|
5
Ответ для периода в двух случаях (скорость меньше критической и скорость больше критической) $$T' = \begin{cases} 2T = 2\pi \sqrt{\frac{8}{3\pi}\frac{R}{g}},~~v_0\leq\sqrt{\frac{2}{3\pi}\frac{g}{R}}\Delta R;\\ T\left(1 + \frac{2}{\pi}\arcsin \left(\sqrt{\frac{2}{3\pi}\frac{g}{R}}\frac{\Delta R}{v_0}\right)\right) = \sqrt{\frac{8}{3\pi}\frac{R}{g}} \left[ \pi + 2\arcsin\left(\sqrt{\frac{2}{3\pi}\frac{g}{R}}\frac{\Delta R}{v_0}\right)\right],~~v_0>\sqrt{\frac{2}{3\pi}\frac{g}{R}}\Delta R. \end{cases}$$ Баллы за этот пункт ставятся только если засчитаны пункты 4.1-4.4 |
2 × 0.30 |
|
| 6 *Баллы за ответы в этой части ставятся, если они получены корректной подстановкой значений $\omega_0$ и $z_0$ из предыдущих пунктов |
|