1  ^?? Найдите на каких расстояниях $l_1$ и $l_2$ от источника находятся его изображения в верхней и нижней половинках линзы.

Каждая из половинок линзы будет давать изображение, расстояние до которого можно найти по формуле тонкой линзы. Пусть $l$ – искомое, тогда из: $\displaystyle\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$ и $l = d + f $ получим $l=\displaystyle\frac{d^2}{d-F}$.

Расстояния $l_1$ и $l_2$ от источника до его изображений в верхней и нижней половинках линзы равны:

2  ^?? Опишите картину, которая наблюдается на экране (изобразите ее схематически на рисунке и определите величины существенных характеристик) при $L_1 = 3F$ и $L_2 = 6F$.

При $L_1 = 3F$ и $L_2 = 6F$ пучки идут по разные стороны от ГОО, поэтому на экране возникнет равномерно освещенное изображение в виде двух полукругов разного радиуса, величина которых может быть получена из рассмотрения подобных треугольников. В обоих случаях радиус нижнего полукруга меньше, чем у верхнего: для $L_1 = 3F$ отношение радиусов равно
$$
\frac{r_в}{r_н}=\frac{l_1-L_1}{l_1-d_1}\frac{l_2-d_2}{l_2-L_1}=\frac{7}{6},
$$
а при $L_2 = 6F$
$$
\frac{r_в}{r_н}=\frac{L_2-l_2}{l_2-d_2}\frac{l_1-d_1}{L_2-l_1}=6,
$$

На рисунке 2 полукруги показаны схематически.

3  ^?? При каком расстоянии $L_3 > 2F$ на экране наблюдается изображение в форме круга?

При перемещении экрана от расстояния $2F$ вправо несложно заметить, что в некотором положении радиусы полукругов совпадут в промежутке от $2F$ до $l_2$.

Искомое расстояние находим из пропорции, отражающей равенства двух коэффициентов подобия треугольников:
$$
\frac{l_1-d_1}{L_3-d_1}=\frac{l_2-d_2}{L_3-d_2}\,\,\Rightarrow\,\, L_3=\frac{d_2l_1-d_1l_2}{l_1-l_2-d_1+d_2}.
$$Искомое расстояние:

4  ^?? Опишите качественно и объясните картину, которая наблюдается на экране, указав все характерные детали.

Если закрепить экран на расстоянии $L_4 = 40F/9$ от источника, то пучки света от полулинз точно накладываются друг на друга в верхней полуплоскости экрана.

Изображения источника $S$ в положениях $l_1$ и $l_2$ можно рассматривать как два когерентных вторичных источника $S_1$ и $S_2$, фазы которых в точке отрезка между ними на ГОО отличаются на $\pi$ из-за прохождения световой волны через фокус в $S_1$.

5  ^?? Пройдем из точки пересечения экрана ГОО вверх, до края наблюдаемой картины. Определите, сколько на этом пути окажется интервалов, на которых освещенность экрана будет возрастать? Для расчёта используйте значения: $F = 4~м$, $\lambda = 650~нм$, $D = 5~см$.

Радиус полукруга можно найти из подобия треугольников: $\displaystyle\frac{r}{D/2}=\frac{L_4-l_2}{l_2-d_2} \,\,\Rightarrow\,\, r=\frac{D}{9}$. Назовем вершину полукруга точкой $А$, а его центр – точкой $О$ и рассмотрим сечение области пересечения световых лучей от половинок линзы плоскостью, проходящей через оптическую ось перпендикулярно разрезу (рисунок 4). Расстояния от изображений источника до центра картины равны $S_1O ≡ b = 4F/9$ и $S_2O = 2b = 8F/9$.

Как уже отмечалось, в точке $О$ разность фаз между лучами, пришедшими через нижнюю и верхнюю половину линзы, равна $\Delta\varphi_O=\pi$. Эта разность увеличивается на $2\pi$ при переходе к каждой следующей темной полосе.

Разность фаз между этими лучами на краю картины – в точке $А$ – определяется разностью хода лучей: $\Delta\varphi_A=\pi+2\pi[S_1A-(S_1S_2-S_2 A)]/\lambda$. С другой стороны, она изменилась по сравнению с $\Delta\varphi_O$ на $2\pi k$, где $k$ –- число светлых полос в картине, на каждой из которых происходит рост и убывание наблюдаемой освещенности. Ясно, что это и есть ответ на вопрос 5.

Значит, $k\lambda =S_1A+S_2 A-S_1S_2=S_1 A+S_2 A-3b.$

По рисунку 4, применяя теорему Пифагора, выражаем расстояния:
$k\lambda =\sqrt{4b^2+r^2 }+\sqrt{b^2+r^2 }-3b.$

Для данных по условию $b \gg r$ и, с учетом формулы $(1 + x)^{\alpha}=1 + \alpha x$, находим: $3r^2 ≈ 4kb\lambda$. Таким образом, искомое значение: $k=\displaystyle\frac{3r^2}{4b\lambda} \,\,\Rightarrow\,\, k=\frac{D^2}{48\lambda F}$. Для заданных числовых значений получаем, что

$\bf Примечание.$ Отметим, что вычисление без приближения малости отклонения от оси дает $k ≈ 20,032$, то есть в принципе можно считать, что на краю картины есть еще один – правда, очень тонкий – интервал значений радиуса, на котором освещенность будет возрастать. Тогда ответом на вопрос 5 будет $k = 21$. Такой ответ (при наличии соответствующего объясне-ния) тоже следует считать правильным. Хотя на практике «увидеть» эту полоску будет очень сложно.