Pho.rs: MS3 - ВТСП

A1 ^2.00 Закрепите коробочку с медной проволокой в крышке от термоса. Учтите, что коробочка плавает в жидком азоте. Снимите зависимость $T_\mathrm{in}$ от времени $t$ при охлаждении в жидком азоте.
Проводите измерения в течение 15 минут.

Заполните таблицу «A1.xlsx» и сдайте ее в качестве ответа. В таблице обязательно должен быть график $T_\mathrm{in}$ от $t$.

Подключим медную проволоку, предварительно помещённую в коробочку из пенополистирола, к источнику постоянного малого тока $I_0=15~$ мА. Используемый источник действительно является источником постоянного тока в силу того, что его внутреннее сопротивление гораздо больше сопротивления проволоки.

Будем измерять зависимость напряжения на проволоке от времени $U(t)$. Методика эксперимента позволяет определить сопротивление проволоки как $$R(t)=\dfrac{U(t)}{I_0}$$

Зависимость удельного сопротивления меди $\rho_{Cu}$ от температуры $T$, записанная в файле «Specific resistance.xlsx» позволяет получить значения температуры внутри коробочки, соответствующие измеренным точкам: $$T_{in}(t)=T(\rho_{Cu}(t))=T\left(\dfrac{R(t)}{R_{77~К}}\cdot\rho_{Cu,77~К}\right)$$

График снятой зависимости приведён на рисунке.

A2 ^0.50 Численно рассчитайте зависимость $\alpha(T_\mathrm{in})$ при $T_{out}=T_\mathrm{LN_2}$ с использованием данных предыдущего пункта и постройте её график.

Заполните таблицу «A2.xlsx» и сдайте ее в качестве ответа . В таблице обязательно должен быть график $\alpha(T_\mathrm{in})$ от $T_\mathrm{in}$.

Запишем закон Ньютона-Рихмана для мощности тепловых потерь: $$P_{loss}=\alpha(T_{in}-T_{out})$$

Представив теплоёмкость проволоки в виде $C_{Cu}=c_{Cu}M$, перейдём к уравнению теплового переноса: $$c_{Cu}M\cdot\dfrac{dT_{in}}{dt}=-P_{loss}=-\alpha(T_{in}-T_{out})$$

Заметим, что удельная теплоёмкость меди является функцией температуры $T_{in}$ (см. файл «Specific heat capacity.xlsx»), поэтому коэффициент пропорциональности \alpha может быть выражен следующим образом: $$\alpha(T_{in})=\dfrac{c_{Cu}(T_{in})M}{T_{in}-T_{out}}\cdot\left(-\dfrac{dT_{in}}{dt}\right)$$

График рассчитанной зависимости приведён на рисунке.

A3 ^2.00 Охлажденную до температуры жидкого азота коробочку залейте водой при комнатной температуре $T_0=25^\circС$ так, чтобы она оказалась полностью погружённой. Обратите внимание, что в этот момент в крышке от термоса НЕ ДОЛЖНО БЫТЬ жидкого азота.

Снимите зависимость $T_\mathrm{in}$ от времени $t$. Делайте измерения в течение 15 минут. Из-за того, что теплоемкость системы и поток тепла оказываются очень маленькими, изменением температуры воды можно пренебречь.

Заполните таблицу «A3.xlsx» и сдайте ее в качестве ответа. В таблице обязательно должен быть график $T_\mathrm{in}$ от $t$.

Определение температуры $T_{in}$ происходит аналогично пункту A1.

График снятой зависимости приведён на рисунке.

A4 ^0.50 Численно рассчитайте зависимость $\alpha(T_\mathrm{in})$ при $T_\mathrm{out}=T_0$ с использованием данных предыдущего пункта и постройте её график.

Заполните таблицу «A4.xlsx» и сдайте ее в качестве ответа. В таблице обязательно должен быть график $\alpha(T_\mathrm{in})$ от $T_\mathrm{in}$.

Запишем выражение для тепловой мощности, получаемой внутренностью коробочки из внешней среды: $$P_{heat}=\alpha(T_{out}-T_{in})$$

Выражение для коэффициента пропорциональности $\alpha$ примет следующий вид: $$\alpha(T_{in})=\dfrac{c_{Cu}(T_{in})M}{T_{out}-T_{in}}\cdot\dfrac{dT_{in}}{dt}$$

График рассчитанной зависимости приведён на рисунке.

A5 ^2.00 Снимите зависимость $T_\mathrm{in}$ от времени $t$ при охлаждении в жидком азоте.
Проводите измерения в течение 30 минут.

Заполните таблицу «A5.xlsx» и сдайте ее в качестве ответа. В таблице обязательно должен быть графики $T_\mathrm{in}$ от $t$.

Температуру внутри коробочки определяем аналогично пункту A1, при этом источник постоянного тока подключён к медной проволоке, являющейся катушкой, намотанной на сердечник из $\rm YBCO$.

График снятой зависимости приведён на рисунке.

A6 ^2.00 Снимите зависимость $T_\mathrm{in}$ от времени $t$ при нагревании в воде комнатной температуре. Из-за того, что теплоемкость системы и поток тепла оказываются очень маленькими, изменением температуры воды можно пренебречь. Проводите измерения в течение 20 минут.

Заполните таблицу «A6.xlsx » и сдайте ее в качестве ответа. В таблице обязательно должен быть графики $T_\mathrm{in}$ от $t$.

Алгоритм снятия зависимости остаётся прежним, изменяется лишь внешняя среда, в которую помещена коробочка.

График снятой зависимости приведён на рисунке.

A7 ^2.00 По результатам двух предыдущих пунктов рассчитайте значение теплоёмкости образца $C$ при разных температурах $T$. Постройте два графика этой зависимости: один график из данных полученных по нагреванию, другой из данных по остыванию.

Заполните таблицу «A7.xlsx » и сдайте ее в качестве ответа. В таблице обязательно должны быть графики $C$ от $T$.

Присутствие в системе сердечника из $\rm YBCO$ немного изменяет вид уравнения теплового переноса: $$(C+c_{Cu}M)\dfrac{dT_{in}}{dt}=\alpha(T_{out}-T_{in})$$

Из приведённой записи могут быть получены выражения для теплоёмкости $C$

при нагревании $$C(T_{in})=\dfrac{\alpha(T_{in})\cdot(T_{out}-T_{in})}{\tfrac{dT_{in}}{dt}}-c_{Cu}(T_{in})M$$
при остывании $$C(T_{in})=\dfrac{\alpha(T_{in})\cdot(T_{in}-T_{out})}{-\tfrac{dT_{in}}{dt}}-c_{Cu}(T_{in})M$$

Обратите внимание, что коэффициенты $\alpha$ в этих выражениях отличаются, т.к. отличаются параметры внешней среды. Значение $\alpha$ нужно брать из пункта A4 при нагревании и из пункта A2 при остывании.

На рисунке показан характерный вид зависимостей, полученных из подобного пересчёта.

A8 ^1.80 Численно определите температуру Дебая $\Theta$ у $\rm YBCO$.

Решение сдайте на бланке «A8». Опишите использованные численные методы. В системе moodle в качестве ответа напишите «rdy».

Согласно теории Дебая теплоёмкость твёрдых тел описывается выражением:

\[
C\propto\left(\dfrac{T}{\Theta}\right)^3\int\limits_0^{\Theta/T}\dfrac{x^4e^x}{(e^x-1)^2}dx
\]

Будем варьировать параметр $\Theta$ и подбирать такое его оптимальное значение, при котором теоретическая зависимость теплоёмкости будет максимально приближать экспериментальную.

Интегрирование на отрезке $[0,\Theta/T]$ производится численными методами с использованием инструментов электронных таблиц.

На рисунке показана аппроксимация экспериментальной зависимости при параметре $\Theta=430~$К.

B1 ^0.20 Определите сопротивление выданного резистора $R_0$.

Ответ запишите в Омах.

Измеренное значение сопротивления $R_0=4.7~Ом$

B2 ^3.00 Получите искомую зависимость $L(T)$ с помощью нагревания в воде комнатной температуры. Вы можете использовать весь функционал программы.

Заполните таблицу «B2.xlsx » и сдайте ее в качестве ответа. В таблице обязательно должен быть график $L$ от $T$.

Осциллограммы напряжений в последовательном $LR$-контуре строятся в специальной программе, которая также рассчитывает отношение амплитуд сигналов $\eta$ и сдвиг фаз между ними $\Delta\varphi$ и позволяет сохранить эти данные. Расчётные величины для последовательного $LR$-контура могут быть выражены через характеристики цепи: $$\eta=\dfrac{\sqrt{(\omega{}L)^2+(R+R_0)^2}}{R_0}$$

$$\tan\Delta\varphi=\dfrac{\omega{}L}{R+R_0}$$

Из этих равенств нетрудно получить выражения для $R$ и $L$: $$R=R_0(\eta\cos\Delta\varphi-1)$$

$$L=\dfrac{R_0\eta\sin\Delta\varphi}{\omega}$$

Значение сопротивления проволоки $R$ позволяет определить температуру внутри коробочки $T_{in}$ (аналогично части A). Таким образом, можно получить зависимость $L(T)$.

B3 ^3.00 Повторите проведённые действия, заменив нагрев охлаждением.

Заполните таблицу «B3.xlsx » и сдайте ее в качестве ответа. В таблице обязательно должен быть график $L$ от $T$.

Рассуждения предыдущего пункта применимы и здесь.

График зависимости $L(T)$ представлен на рисунке.

B4 ^1.00 Постройте графики зависимостей из двух предыдущих пунктов и определите температуру фазового перехода «нормальное состояние» — «сверхпроводник» для $\rm YBCO$.

Заполните таблицу «B4.xlsx » и сдайте ее в качестве ответа.

Температура фазового перехода отвечает резкому скачку на графике $L(T)$. В качестве ответа можно взять температуру, соответствующую середине этого скачка.

\[T = (91 \pm 7)~К\]