Cила вязкого трения, действующая на двигающийся в воде шарик, равна:
$$\vec{F} = - 6\pi r \eta \vec{v},$$
где $r$ - радиус шарика, $\eta=0.89~мПа \cdot с$ - коэффициент вязкости воды, $v$ - скорость шарика.
Сила тока, текущая через фотодиод, пропорциональна интенсивности света, падающего на него.
Истинная плотность песка $\rho_s = 2.9~г/см^3$, плотность воды $\rho_w=1.00~г/см^3$. Песчинки будем считать шариками. Ускорение свободного падения $g=9.8~м/c^2$. Ширина $L$ внутреннего сечения кюветы равна $8.3~мм$.
Пусть общее количество песчинок в некотором объеме взвеси равно $N_0$. Количество частиц $dN$ с размером, лежащим в диапазоне $[r, r+dr]$ равно:
\[ dN = N_0 \cdot f(r) dr,\]
где функция $f(r)$ характеризует вероятность найти частицу размером $r$, если брать ее из этого конкретного объема.
Исследовать динамику осаждения смеси можно оптически. Из-за рассеяния на частицах интенсивность света экспоненциально падает:
\[ I= I_0 \exp (- \alpha L) = I_0 \exp \left(-\frac{LN_0}{V}\int\limits_0^{+\infty} \pi r^2 f(r) dr \right), \]
где $\alpha$ - оптическая плотность раствора.
Когда взвесь частиц однородная, функция $f(r)$ одинакова по всему объему. Однако после запуска сампроизвольного осаждения $f(r)$ начинает зависеть от высоты и времени. Например, быстро осаждающиеся частицы практически сразу оказываются на дне и не участвуют в рассеянии света, проходящего через середину кюветы.
