A1  ^0.50 Найдите скорость установившегося движения песчинки радиусом $r$ в воде под действием силы тяжести.

Установившаяся скорость $v_{\text{уст}}$ опускающейся в растворе частицы является результатом равновесия:
\begin{align*}
g (\rho_s - \rho_w) V - 6\pi r \eta v_{\text{уст}} = 0 , \quad \Rightarrow \\
v_{\text{уст}} = \frac{\frac{4\pi}{3}r^3 g (\rho_s - \rho_w)}{6 \pi r \eta } \Rightarrow
\end{align*}
\begin{align}
v_{\text{уст}} = \frac{2 g (\rho_s - \rho_w)}{9 \eta} r^2
\end{align}
Для заданных в условии значениях:
\begin{equation}\label{eq:2}
v_{\text{уст}} = \frac{2 \cdot 9.8 \cdot(2.9 - 1.0)\cdot 10^3 }{9 \cdot 0.89 \cdot10^{-3}} \cdot r^2 \approx 4.692\cdot 10^4 [\frac{1}{\text{cм}\cdot \text{с}}] \cdot r^2 [\text{cм}^2]
\end{equation}

A2  ^4.00 При двух разных $H$ измерьте зависимость $I/I_0$ от времени $t$. В сериях должно быть не менее 15 измерений.

Для проведения измерений необходимо собрать установку (см рисунок) состоящую из источника направленного излучения – лазера с коллимирующей линзой, излучение которого направлено на фотодиод.

Для снижения вероятности попасть лучом лазера в стенку кюветы рекомендуется провести предварительную разметку для положения основания кюветы.

Фотодиод подключается к мультиметру работающему в режиме измерения силы тока. При таком подключении фотодиод работает в режиме фото-ЭДС, которое нагружено на низкое сопротивление амперметра. Регистрируемая при этом сила тока пропорциональна интенсивности падающего излучения. Использование мультиметра в режиме вольтметра некорректно, поскольку ВАХ фотодиода в таком режиме сильно нелинейна и развиваемая фото-ЭДС вне зависимости от интенсивности фактически ограничена сверху. То есть, может быть значительным влияние эффекта насыщения. Требуемое отношение интенсивностей $I/I_0$ определяется как отношение измеряемых амперметром значений силы тока $J/J_0$.

Значение высоты прохождения луча через кювету измеряется с помощью линейки, так как это было сформулировано и показано на рисунке в условии. Изменение высоты луча лазера достигается за счёт особенностей подставки-держателя лазерного модуля – см рисунок.

После настройки и юстировки установки можно переходить к измерениям. Для регистрации времени в работе используется электронный секундомер. Перед непосредственными измерениями нужно провести наблюдения за процессом осаждения и регистрируемыми значениями силы тока.

Такие наблюдения обнаруживают заметные флуктуации значений силы тока, причем величина и частота флуктуационных скачков зависит от устанавливаемого на мультиметре диапазона измерений. Опытным путём обнаруживаем, что оптимальная шкала: $20 mA$. При таком режиме величина и частота флуктуаций показаний амперметра относительно невелики, а чувствительность достаточна для регистрации снижения рассеяния света в кювете.

Поскольку регистрируемые значения сила тока носят флуктуирующий характер, то для измерений временно зависимости предпочтительнее фиксировать значения амперметра в определённые моменты времени. Причём, эти моменты времени должны быть равноотстоящими друг от друга, для упрощения вычисления производной, как это потребуется при обработке.

Таким образом, рекомендуемый сценарий измерений выглядит так:
1)Взболтать кювету, так чтобы распределить частицы взвеси равномерно по объёму
2) Установить кювету перед фотодиодом
3) Включить секундомер сразу после установки кюветы и записать значение силы тока, которое принимается относящимся к нулевому моменту времени.
4) Фиксировать значения силы тока через каждый промежуток времени $\Delta t$ который может быть выбран в диапазоне от 10 до 30 секунд
5) Измерения проводить до тех пор пока показания амперметра не перестанут изменяться на промежутке времени около 60 секунд

Необходимо провести не менее двух серий измерений на каждую высоту луча, чтобы убедиться в воспроизводимости результатов.
Далее приведены данные измерений. Сначала две серии для высоты $H = 13$ см

Далее ешё две серии для $H = 6$ см:

Значение тока $J_0$ соответствующее практически полному отсутствию рассеивающих частиц в растворе равно максимальному значению в каждой серии.

На основе полученных данных можно вычислить значения отношения $I/I_0 = J/J_0$. Однако, интерес представляет не само это отношение, а константа $\alpha$, график которой требуется построить в следующем пункте.

A3  ^1.00 В одних осях постройте график зависимости $\alpha$ от времени $t$ для каждого $H$.

Константа поглощения $\alpha$ вычисляется по формуле:
$ \alpha = \frac{-1}{L}\log(J/J_0) $,
где $L$ – длина проходимая излучением в растворе, в кювете. С помощью этой формулы и измеренных данных из таблиц выше, найдём значения $\alpha$ и запишем их в таблицу:

На этих графиках видно, что серии для одного значения высоты луча группированы вместе. Зависимости для разных значений высоты заметно отличаются друг от друга.

Также на графиках можно заметить, что зависимость $\alpha(t)$ серий для $H=13$ см имеет небольшой, но различимый излом около 75 секунды. Предположительно, эта особенность является следствием возникающих при изначальном перемешивании турбулентных течений, которые успокаиваются в течении некоторого времени. Подобного рода излом для $H=6$ см выражен слабее, что возможно, связано быстрым уходом из верхних слоёв более крупных частиц которые сильнее рассеивают свет.

Турбулентные завихрения хорошо заметны при перемешивании кюветы, если смотреть на просвет.

A4  ^3.50 Вычислите значение $f(r)$ для 10-ти разных значений $r$.

Для вычисления значений функции $f(r)$ найдём связь этой функции с измеряемой зависимостью $\alpha(t)$.
Исходим из заданного в условии выражения:
\begin{equation}
\alpha = \frac{N_0}{V} \int_0^{\infty} \pi r^2 f(r) dr
\end{equation}
Процесс падения частиц в коллоидном растворе приводит к тому, что в области прохождения луча через кювету локальная функция распределения $f_{loc}(r) = f_z(r)$ изменяется со временем. Индекс $z$ означает, что функция распределения $f_z(r)$ частиц по их размеру $r$ зависит от $z$ как от параметра.
Если предположить, что исходно, сразу после перемешивания $f_z(r)$ от $z$ не зависит, однородна по всему объёму, то по прошествии некотрого времени ситуация изменится. Из-за разной установившейся скорости падения частиц разных размеров через некоторое время наиболее крупных частиц в области лазерного луча в кювете уже не будет -- все такие частицы исходно располагающиеся в столбе высотой $H$ успели за это время упасть ниже уровня лазерного луча.

Поэтому зависимость $\alpha(t)$ будет выражаться в виде интеграла с плавающей верхней границей:
\begin{equation}
\alpha(t) = \alpha(R(t)) = \frac{N_0}{V} \int_0^{R(t)} \pi r^2 f(r) dr
\end{equation}
Верхняя граница $R(t)$ означает максимальный размер частиц которые за время $t$ ещё не успели все опуститься ниже уровня лазерного луча.
Соотношение позволяет выразить функцию распределения $f(r)$ через производную $d\alpha /dt$:
\begin{equation}
\frac{d \alpha}{dt} = \frac{d \alpha}{dR} \frac{dR}{dt} = \frac{dR}{dt} \frac{N_0}{V} \pi R^2 f(R)
\end{equation}
Для вычисления производной $ \frac{dR}{dt}$ учтём связь установившейся скорости падения $v_{\text{уст}}$ с размером частицы $R$: \[
v_{\text{уст}} = K\cdot R^2
\]
Чтобы за время $t$ преодолеть расстояние не меньшее чем $H$ требуся скорость не меньше чем
\[
v_{min} = \frac{H}{t}
\]
Откуда получаем соотношение:
\begin{equation}
K\cdot R^2 = \frac{H}{t}
\end{equation}
И соответственно:
\begin{equation}
\frac{dR}{dt} = -\frac{H}{2R\cdot K\cdot t^2} \sim -R^3
\end{equation}
Поскольку f(R) имеет смысл распределения плотности вероятности, то при выводе достаточно ограничиться лишь зависимостью от $R$ и $t$, а коэффициент найти из условия нормировки интеграла этой величины на единицу.

Таким образом:
\begin{equation}
f(r) \sim \left| \frac{da}{dt} \right| \cdot \frac{1}{R^5} = \left| \frac{da}{dt} \right| \cdot \sqrt{(Kt/H)^5}
\end{equation}

Вычислим сначала значения не нормированной функции распределения по формуле:
\begin{equation}
F(R) = \left| \frac{da}{dt} \right| \cdot \frac{1}{R^5},
\end{equation} где $R$ будем вычислять по формуле: \[R = \sqrt{\frac{H}{K\cdot t}}\]
Производную $\frac{d \alpha}{dt}$ будем приближать конечными разностями значений $\alpha$ соответствующим шагу по времени $\Delta t = 40$ сек. Момент времени к которому относится вычисляемое приближение к производной выбирается как середина соответствующего интервала.
Данные первых двух серий усредним в одну, и аналогично для вторых двух серий - так чтобы получить более менее регулярные зависимости.

В таблице показаны вычисленные значения $R$ и производной $d\alpha/dt$:

Методом трапеции оценим нормировочные интегралы:
\[
S_1 \approx 2.26\cdot 10^{-7} \frac{1}{\text{см}\cdot\text{сек}\cdot \text{мкм}^5}
\]
\[
S_2 \approx 7.80\cdot 10^{-7} \frac{1}{\text{см}\cdot\text{сек}\cdot \text{мкм}^5}
\]

A5  ^1.00 Постройте график зависимости $f$ от $r$