Метод 1.1. Разная точка приложения силы реакции
Зафиксируем расстояние $y = (25{,}9 \pm 0{,}2)~см$ и положим конец шпильки с гайками на клипсу, находящуюся на расстоянии $x$ от края (см. рисунок). В таком случае на шпильку с гайками действует сила тяжести, сила реакции опоры $N$ и сила, приложенная в шарнире. При этом показания $m$ весов равны силе реакции опоры $N$, деленной на $g$.
Горизонтальность шпильки можно контролировать измерением расстояния до поверхности стола в различных точках, при этом небольшие отклонения от идеального горизонтального положения не влияют на результаты.
Получим экспериментальные точки зависимости показаний весов $m$ от расстояния $x$. Примем погрешность измерения длин за $0{,}2~см$ в связи с точностью определения точки касания шпильки и клипсы. Погрешность измерения «массы» $\Delta m = 0{,}03~г$.
$m,~г$ 27,21 28,53 30,82 32,13 38,67 43,71 52,16 $x,~см$ 0 1,8 4,6 6,7 12,7 16,4 20,6 $\dfrac{1}{m},~\dfrac{1}{кг}$ 36,8 35,1 32,4 31,1 25,9 22,9 19,2
Запишем правило моментов для рычага относительно оси вращения, проходящей через шарнир:
\[ Mg(y+b-a)=N(b+y-x). \]
Учитывая $N=mg$, где $m$ — показания весов, линеаризуем получившееся выражение:
$$ \frac{M}{m}(y+b-a) = b + y - x \quad \Rightarrow \quad x = b+y - \frac{M}{m}(y+b-a). $$
Графиком зависимости $x$ от $1/m$ является прямая линия с отрицательным коэффициентом наклона, причём пересечение этой прямой с осью $x$ происходит в точке $x=b+y$. Из графика получим $b+y=(43{,}4\pm 0{,}4)~ см$. Погрешность величины $b+y$ определим графически. Если по точкам приведённого графика провести прямые с наименьшим и наибольшим сдвигом по вертикали, то будет видно, что погрешность равна $\Delta (b+y)=0{,}4~ см$.
Кресты ошибок на графике по обеим осям оказываются маленькими. С учётом зафиксированного $y=(25{,}9 \pm 0{,}2)~см$ получим $b=(17{,}5\pm 0{,}6)~ см$.
Метод 1.2. Измерение момента дополнительной силы
Выкрутим шпильку практически до упора так, что $y = (26{,}0 \pm 0{,}2)~см$. Положим шпильку с гайками на опору. В качестве опоры возьмем гайку. Нажмём кнопку «Tare» на весах. Если на шпильку будет действовать дополнительная сила, поменяется сила реакции $N$, действующая со стороны опоры на шпильку, то весы покажут величину $m^* = \Delta N / g$, где $\Delta N$ — изменение силы реакции.
В качестве дополнительной силы выберем силу тяжести клипсы и $n$ гаек, расположенных рядом со стенкой короба. Их суммарная масса $m = m_к + n \cdot m_г$, где $m_к = (1{,}33 \pm 0{,}03)~г$ и $m_г = [(3{,}14 \pm 0{,}03)~г]/5 = (0{,}628 \pm 0{,}006)~г$. Расстояние от середины клипсы (её центра масс) до края шпильки $l = (25{,}0 \pm 0{,}2)~см$.
Измерим показания весов $m^*$ при разных $n$.
$n$ 4 3 2 1 0 $m, ~г$ 3,82 3,18 2,55 1,94 1,30 $m^*,~ г$ 1,62 1,34 1,12 0,87 0,57
Перед тем, как мы расположили клипсу с гайками на шпильке, для системы «шпилька + гайки» были выполнены оба условия равновесия. Но когда вес клипсы с гайками начинает действовать на шпильку, то относительно оси вращения он создает момент $mg(b+y-l)$, который компенсируется изменением момента силы реакции $\Delta N (b+y)$:
\[mg(b+y-l)=m^*g(b+y) \quad \Rightarrow \quad m^* = m \left(1 - \frac{l}{b+y} \right).\]
Тогда график $m^*$ от $m$ должен быть линейным и проходящим через ноль. Его коэффициент наклона равен $1-l/(b+y)$.
Проведя прямую из точки $(0,0)$, получаем коэффициент наклона $k=(0{,}431 \pm 0{,}011)$ и
\[b = \frac{l}{1-k}-y = (17{,}9 \pm 1{,}4)~см.\]
Погрешность коэффициента наклона найдем, проведя прямые с максимальным и минимальным наклоном. Рассчитаем погрешность итогового результата:
\[\Delta b = \left( \frac{\Delta k}{1-k} + \frac{\Delta l}{l} \right) \frac{l}{k-1} + \Delta y = 1{,}4~см.\]
Метод 2.1. Изменение силы, поддерживающей шпильку, при её вкручивании
Будем измерять величину силы реакции, действующую на шпильку, с помощью показания весов $m$ так же, как мы это делали в первом пункте. В качестве параметра выберем длину внешней части шпильки $y$ и будем её постепенно уменьшать. Клипсу расположим под краем шпильки с гайками ($x=0$).
$y,~см$ 25,5 24,3 22,4 21,1 18,9 17,5 16,5 14,8 13,7 12,0 10,7 9,3 7,8 6,7 $\cfrac{1}{y+b},~м^{-1}$ 2,33 2,4 2,51 2,6 2,75 2,87 2,95 3,11 3,22 3,4 3,56 3,75 3,97 4,15 $m,~г$ 28,28 27,52 26,31 25,64 24,06 22,93 22,04 20,46 19,27 17,49 15,85 14,15 11,67 9,88
Запишем уравнение моментов относительно оси вращения:
\[ Mg(y+b-a) = mg(y+b) \quad \Rightarrow \quad m = M \left( 1 - \frac{a}{y+b} \right), \]поэтому график зависимости $m$ от $1/(y+b)$ оказывается линейным с коэффициентом наклона, равным $-Ma$, и свободным членом, равным $M$. Для вычисления $1/(y+b)$ возьмем значение $b=(17{,}5 \pm 0{,}6)~см$. Тогда погрешность $\Delta [1/(y+b)] = (\Delta y + \Delta b) / (y+b)^2$.
Кресты ошибок на графике по вертикальной оси оказываются маленькими. С помощью графика определим, что масса шпильки с гайками $M=(49{,}1 \pm 0{,}4)~ г$ и $Ma=(9{,}4 \pm 0{,}5)~ г\cdot м$. Погрешности коэффициента наклона и свободного члена определим графически.
Метод 2.2. Изменение силы реакции, действующей на короб при выкручивании шпильки
Установим один конец короба на клипсу, а второй — на весы с опорой в виде гайки. Расстояние между точками опоры короба $l_0=(51{,}0\pm0{,}2)~см$.
Далее, выкручивая шпильку, мы изменяем момент силы тяжести системы «короб + шпилька + гайки» относительно клипсы. Измерим изменение показаний весов $m^*=(20{,}52\pm0{,}03)~г$ при изменении длины свободной части шпильки на $y^*=(21{,}0\pm0{,}2)~см$.
Запишем правило моментов относительно клипсы:
\[mgl_0=\mathcal{M}_{короб}+Mg(y-a+l_0),\]где $\mathcal{M}_{короб}$ — момент сил, создаваемый силой тяжести короба, $l_0$ — расстояние от точки клипсы до стенки ящика.
Когда мы выкручиваем шпильку, меняются только $m$ и $y$:
\[l_0 m^* = M y^* \quad \Rightarrow \quad M=(49{,}8\pm0{,}7)~г.\]Погрешность вычисляется через сумму относительных погрешностей:
\[\Delta M = M \cdot \left(\frac{\Delta l_0}{l_0}+\frac{\Delta m^*}{\Delta m}+\frac{\Delta y^*}{\Delta y}\right)=0{,}7~г.\]
В методе 2.1 с помощью графика получено, что $Ma=(9{,}4 \pm 0{,}5)~г\cdot м$, поэтому $a=(19{,}2 \pm 1{,}0)~см.$
Если для определения массы использовался альтернативный метод (например, метод 2.2), то для определения $a$ все равно требуется провести исследование, аналогичное методу 2.1.
Рассмотрим систему «шпилька + гайки». Двадцать навинченных гаек можно представить как однородный стержень длиной $c=(5{,}9 \pm 0{,}2)~см$ и массой $20 m_г$.
Выражение для центра масс системы имеет вид:
$$Ma=(M-20m_г)\cfrac{L}{2}+20m_г\cfrac{c}{2} \quad\Rightarrow\quad L=2\cfrac{Ma-10m_г c}{M-20m_г}=49~см.$$Оценка погрешности длины стержня $\Delta L$:
\[\Delta L = L \left( \frac{\Delta (Ma) + 10 c \Delta m_г + 10 m_г \Delta c}{Ma - 10m_гc} + \frac{\Delta M + 20 \Delta m_г}{M-20m_г} \right)=4~см.\]