Pho.rs: Газ с переменной теплоемкостью

A1 ^0.50 Определите зависимость внутренней энергии такого газа от температуры. Считайте, что при $T = 0$ внутренняя энергия равна нулю.

1 Записано малое приращение: \[\mathrm dU=(C_0+aT)\mathrm dT\]	0.20
2 Получен ответ: $$U=C_0T+\dfrac{aT^2}{2}$$	0.30

A2 ^0.30 Чему равна теплоемкость газа $C_P$ при постоянном давлении при заданной температуре $T$?

1 Получен ответ: \[C_P=C_0+aT+R\]

0.30

A3 ^0.40 Пусть с газом производится изохорный процесс, при котором давление увеличивается от $p_1$ до $p_2$, объем равен $V$. Найдите подведенное количество теплоты $Q_V$.

1 Получено соотношение: \[Q_V=\Delta U\]	0.10
2 Записано уравнение состояния: \[PV=RT\]	0.10
3 Получен ответ: \[Q_V=\dfrac{C_0(p_2-p_1)V}{R}+\dfrac{a(p_2^2-p_1^2)V^2}{2R^2}\]	0.20

A4 ^0.40 Пусть с газом производится изобарный процесс, начальный объем равен $V_1$, конечный $V_2$, давление $p$. Найдите подведенное количество теплоты $Q_P$.

1 Записано соотношение: \[Q_P=Q_V+R\Delta T\]или аналогичное	0.20
2 Получен ответ: \[Q_P=\dfrac{(C_0+R)(V_2-V_1)p}{R}+\dfrac{a(V_2^2-V_1^2)p^2}{2R^2}\]	0.20

A5 ^1.50 Рассмотрим цикл $123$, состоящий из процесса $1-2$, в котором давление прямо пропорционально объему, изохоры $2-3$ и изобары $3-1$. При этом известно, что $V_2 = 2 V_1$, а теплоемкости при постоянных объемах в точках 1 и 2 связаны соотношением $C_{V2} = 1.5 C_{V1}$. Определите коэффициент полезного действия этого цикла. Найдите численное значение. Значение $C_0 = 3R/2$.

A6 ^0.50 Рассмотрим адиабатический процесс, совершаемый с газом. Получите соотношение между бесконечно малыми приращениями объема $\mathrm dV$ и температуры $\mathrm dT$. Ответ выразите через $C_0$, $a$, $T$, $V$, $R$.

1 Записано условие вида $\Delta A + \Delta U = 0$ через любые переменные	0.20
2 Получено выражение: \[(C_0+aT)\mathrm dT+\dfrac{RT}{V}\mathrm dV=0\]	0.30

A7 ^0.90 Из соотношения в предыдущем пункте получите уравнение адиабаты, связывающее $T$ и $V$ вида
$$
f(T, V) = \mathrm{const},
$$в функцию $f$ могут также входить $C_0$, $a$, $R$.

1 Разделение переменных из предыдущего выражения, например: \[(\dfrac{C_0}{T}+a)\mathrm dT+\dfrac{R}{V}\mathrm dV=0\]	0.30
2 Получен верный ответ, например: \[f(T, V)=C_0\operatorname{ln}T+R\operatorname{ln}V+aT\]	0.60

A8 ^0.40 Рассмотрим цикл Карно $1234$, состоящий из изотерм $12$ и $34$ и адиабат $23$ и $41$. Выразите объемы $V_3$, $V_4$ через $V_1$, $V_2$, температуры на изотермах $T_+ = T_1 = T_2$, $T_- = T_3 = T_4$ и параметры газа $C_0$, $a$, $R$.

1 Получен ответ: \[V_3=V_2\left(\dfrac{T_+}{T_-}\right)^\frac{C_0}{R}\exp\left[\dfrac{a(T_+-T_-)}{R}\right]\]	0.20
2 Получен ответ: \[V_4=V_1\left(\dfrac{T_+}{T_-}\right)^\frac{C_0}{R}\exp\left[\dfrac{a(T_+-T_-)}{R}\right]\]	0.20

A9 ^0.80 Прямым вычислением (не используя общей формулы) покажите, что коэффициент полезного действия цикла Карно такой же, как и для идеального газа с постоянной теплоемкостью.

1 Найдено подведенное за цикл тепло: \[Q_+=RT_+\operatorname {ln}\dfrac{V_2}{V_1}\]	0.20
2 Найдено переданное телу тепло во время остывания тепло: \[Q_-=RT_-\operatorname {ln}\dfrac{V_4}{V_3}\]или аналогичное действие	0.20
Далее этот пункт оценивается только при получении полного балла за A8.
4 Указано, что \[\dfrac{V_3}{V_4}=\dfrac{V_2}{V_1}\]или аналогичное	0.10
5 Формула КПД: \[\eta_1=1-\dfrac{Q_-}{Q_+}\]	0.10
6 Получено значение КПД: \[\eta_1=1-\dfrac{T_-}{T_+}\]	0.10
7 Явно сделан вывод, что значение КПД цикла совпадает со значением КПД цикла Карно	0.10

B1 ^1.00 Найдите количество теплоты, которое нужно подвести к газу при изохорном нагревании $Q_V$. Выразите ответ через $T_1$, $R$.

1 Идея сложить теплоты на трех линейных участках	0.10
2 На участке, где $C_V=3R/2$: \[Q_1=\dfrac{3}{4}RT_1\]	0.15
3 На участке, где $C_V=5R/2$: $$Q_3=\dfrac{5}{2}RT_1$$	0.15
4 На участке с переменной теплоемкостью: \[C_0=R/2\]\[aT_1=R\]\[Q_2=2RT_1\]	3 × 0.15
5 Получен ответ: \[Q_V=\dfrac{21}{4}RT_1\]	0.15

B2 ^0.50 Найдите количество теплоты, которое нужно подвести к газу при изобарном нагревании $Q_P$. Выразите ответ через $T_1$, $R$.

1 Записано равенство: \[Q_P=Q_V+R\Delta T\]	0.20
2 Получен ответ: \[Q_P=\dfrac{31}{4}RT_1\]	0.30

B3 ^1.80 Пусть начальный объем газа равен $V_0$. Чему будет равен конечный объем, если увеличение температуры производилось адиабатически? Найдите совершенную в этом процессе работу. Выразите ответы через $T_1$, $R$, $V_0$.

1 Идея разбиения процесса на три линейных	0.10
2 Найдены параметры процесса с переменной теплоемкостью: \[C_0=R/2, ~aT_1=R\]	2 × 0.10
3 M1 Объем в конце первого процесса: \[V_1=\dfrac{V_0}{2\sqrt{2}}\]	0.20
4 M1 Связь объемов в конце второго и первого процессов $$V_2=\dfrac{V_1}{e \sqrt{2}} $$	0.30
5 M1 Связь объемов в конце третьего и второго процессов $$ V_3 = V_2 \left( \frac{2}{3}\right)^{5/2} $$	0.20
6 M1 Получен ответ $$V=\dfrac{V_0\sqrt{2}}{9e\sqrt{3}}$$	0.20
7 M2 Обоснованно получен верный ответ: \[V=\dfrac{V_0\sqrt{2}}{9e\sqrt{3}}\]	0.90
8 Для адиабатического процесса записано $$ A= - \Delta U $$	0.20
9 Записано соотношение: \[A=-Q_V\](Пункт не засчитывается при наличии в работе двух взаимоисключающих утверждений, например, $A=-Q_V$, $A=Q_V$).	0.20
10 Получен ответ: \[A=-\frac{21}{4}RT_1\]	0.20

1 Найдено $p_2$: \[p_2=2p_1\]	0.10
2 Найдено $T_2$: \[T_2=4T_1\]	0.10
3 Получено выражение: \[C_0=5aT_1\]или аналогичное	0.20
4 Определены любые два параметра точки $3$ (аналитически или графически): \[p_3=p_1\]\[V_3=2V_1\]\[T_3=2T_1\]	0.10
5 Правильно вычислена работа газа: \[A=RT_1/2\]	0.20
6 M1 Выражено малое приращение теплоты на участке $1-2$: \[\mathrm dQ=(C_0+aT)\mathrm dT+\dfrac{RT_1}{V_1^2} V\mathrm dV\]или аналогичное	0.20
7 M1 Получено: \[Q_+=\dfrac{33}{4}RT_1\]или аналогичное	0.30
8 M2 Получено отведенное тепло на изохоре: \[Q_2=\dfrac{24}{5}RT_1\]	0.20
9 M2 Получено отведенное тепло на изобаре: \[Q_1=\dfrac{59}{20}RT_1\]	0.20
10 M2 Получено отведенное тепло: \[Q_-=\dfrac{31}{4}RT_1\]	0.10
11 Буквенная формула для расчета КПД: \[\eta=\frac{A}{Q_+}\]или аналогичная	0.10
12 Получен ответ: \[\eta=\dfrac{2}{33}\approx 0.061\]	0.20

Газ с переменной теплоемкостью

Разбалловка