Запишем малое приращение внутренней энергии газа:

\[\mathrm dU=C_V\mathrm dT=(C_0+aT)\mathrm dT\]Интегрируя, получим:

Согласно уравнению Майера:
$$C_P =C_V+R\cdot 1~моль$$здесь и далее мы опускаем множитель $1~моль$ во всех выражениях.
Отсюда получим:

Запишем $I$ начало термодинамики:
\[ \mathrm dQ=\mathrm dU+\mathrm dA\]Процесс изохорный, поэтому работу газ не совершает, и \[Q_V=\Delta U=C_0\Delta T+\dfrac{a(T_2^2-T_1^2)}{2}\]Уравнение состояния идеального газа:
\[pV=RT,\]
откуда можно найти значения температур в начале и в конце процесса:
\[T_1=\dfrac{p_1V}{R}\]\[T_2=\dfrac{p_2V}{R}\]Выразим ответ через данные в условии величины:

Выразим малое приращение теплоты: \[\mathrm dQ=C_P\mathrm dT=(C_0+aT+R)\mathrm dT\]Интегрируя, получим ответ, аналогичный предыдущему пункту: \[Q_P=(C_0+R)\Delta T+\dfrac{a(T_2^2-T_1^2)}{2}\]Через уравнение состояния получим температуры в начале и в конце процесса:
\[T_1=\dfrac{pV_1}{R}\]\[T_2=\dfrac{pV_2}{R}\]Выразим в ответ через данные в условии величины:

Уравнение состояния: \[pV=RT\]В процессе $1-2$ выполняется $p=\alpha V$, значит $T
\propto V^2$, поэтому $T_2=4T_1$, $~p_2=2p_1$, $~\alpha V_1^2=RT_1$.
Запишем соотношение из условия:
\[C_0+aT_2=C_0+4aT_1=1.5(C_0+aT_1),\]откуда следует:
\[C_0=5aT_1\]Теплота подводится только на участке $1-2$ (температура монотонно возрастает), а отводится только на участке $3-1$ (температура монотонно убывает).
Найдем подведенную теплоту:
\[\mathrm dQ=C_V\mathrm dT+p\mathrm dV=(C_0+aT)\mathrm dT+\alpha V\mathrm dV\]После интегрирования получаем: \[Q_+=C_0\cdot (4T_1-T_1)+a\cdot \dfrac{16T_1^2-T_1^2}{2}+\alpha\cdot\dfrac{4V_1^2-V_1^2}{2}=\dfrac{9}{2}C_0T_1+\dfrac{3}{2}RT_1=\dfrac{33}{4}RT_1\]Теперь найдем работу газа: на участке $1-2$ $A_{12}=\dfrac{3}{2}RT_1$, участок $2-3$ - изохора, поэтому $A_{23}=0$, на последнем участке при давлении $p_1$ объем меняется с $2V_1$ до $V_1$, поэтому $A_{31}=-p_1V_1=-RT_1$.
Cуммарная работа газа $A=\dfrac{RT_1}{2}$, КПД находим как \[\eta=\dfrac{A}{Q_+}=\dfrac{2}{33}\]

Приравняем к нулю малое приращение теплоты:
\[\mathrm dQ=C_V\mathrm dT+p\mathrm dV=0\]Из уравнения состояния: \[p=\dfrac{RT}{V}\]Отсюда имеем: \[(C_0+aT)\mathrm dT+\dfrac{RT}{V}\mathrm dV=0\]

Поделив выражение из предыдущего пункта на $T$, получим:
\[(\dfrac{C_0}{T}+a)\mathrm dT+\dfrac{R}{V}\mathrm dV=0\]Интегрируя, получим:
\[f(T, V)=C_0\operatorname{ln}\dfrac{T}{T_0}+R\operatorname{ln}\dfrac{V}{V_0}+aT=\operatorname{const}\]Здесь $T_0$, $V_0$ - произвольные константы для обеспечения безразмерной величины под логарифмом. Опуская данную формальность, представим ответ через данные в условии величины:

Запишем выражение из предыдущего пункта для адиабаты $2-3$:
\[C_0\operatorname{ln}T_++R\operatorname{ln}V_2+aT_+=C_0\operatorname{ln}T_-+R\operatorname{ln}V_3+aT_-,\]которое преобразуется в: \[R\operatorname{ln}\dfrac{V_3}{V_2}=C_0\operatorname{ln}\dfrac{T_+}{T_-}+a(T_+-T_-),\]откуда следует:
\[V_3=V_2\left(\dfrac{T_+}{T_-}\right)^\frac{C_0}{R}\exp\left[\dfrac{a(T_+-T_-)}{R}\right]\]Аналогично запишем для адиабаты $4-1$:
\[C_0\operatorname{ln}T_-+R\operatorname{ln}V_4+aT_-=C_0\operatorname{ln}T_++R\operatorname{ln}V_1+aT_+,\]что преобразуется в:
\[V_4=V_1\left(\dfrac{T_+}{T_-}\right)^\frac{C_0}{R}\exp\left[\dfrac{a(T_+-T_-)}{R}\right]\]

Тепло может подводиться и отводиться только на изотермах (на $1-2$ оно подводится, на $3-4$ – отводится).
\[\mathrm dQ=\mathrm dU+\mathrm dA=\mathrm dA=p\mathrm dV\]($\mathrm dU=C_V\mathrm dT=0$ т.к. процесс изотермический)
\[pV=RT,\]тогда \[\mathrm dQ_+=RT_+\dfrac{\mathrm dV}{V},\]\[Q_+=RT_+\operatorname {ln}\dfrac{V_2}{V_1},\]аналогично:
\[Q_-=RT_-\operatorname {ln}\dfrac{V_4}{V_3}\]Из предыдущего пункта: \[\dfrac{V_3}{V_4}=\dfrac{V_2}{V_1}\]Выразим КПД: \[\eta_1=1+\dfrac{Q_-}{Q_+}=1-\dfrac{T_-}{T_+}\]КПД цикла Карно:
\[\eta_c=1-\dfrac{T_-}{T_+},\]откуда следует, что выражения для КПД совпадают.

На линейном участке $C_V=C_0+aT$. Получим систему линейных уравнений: \[\begin{cases}C_0+aT_1=3R/2\\
C_0+2aT_1=5R/2\end{cases}\]
Из этой системы следует:
\[aT_1=R\]\[C_0=R/2\]Найдем $Q_V$: \[Q_V=\int\limits_{T_1/2}^{3T_1}{C_V\mathrm dT}=\dfrac{3R}{2}\left(T_1-\dfrac{T_1}{2}\right)+\dfrac{5R}{2}\left(3T_1-2T_1\right)+\int\limits_{T_1}^{2T_1}{(\frac{R}{2}+\frac{RT}{T_1})\mathrm dT}\]\[Q_V=\frac{3RT_1}{4}+\frac{5RT_1}{2}+2RT_1=\dfrac{21}{4}RT_1\]

\[C_P=C_V+R,\]поэтому:
\[Q_P=Q_V+R\Delta T=\frac{21}{4}RT_1+\frac{5}{2}RT_1=\frac{31}{4}RT_1\]

Если в адиабатическом процессе с линейно зависящей от температуры теплоемкостью $C_V=C_0+aT$ температура изменяется от $T_{1x}$ до $T_{2x}$, а объем от $V_1$ до $V_2$ соответственно, то объемы в начале и в конце связаны следующим образом:
\[V_2=V_1\left(\dfrac{T_{1x}}{T_{2x}}\right)^\frac{C_0}{R}\exp\left[\dfrac{a(T_{1x}-T_{2x})}{R}\right]\]Процесс можно разделить на три линейных процесса с параметрами:
\[C_0=3R/2, ~a=0, ~T_{1x}=T_1/2, ~T_{2x}=T_1\]\[C_0=R/2, ~aT_1=R, ~T_{1x}=T_1, ~T_{2x}=2T_1\]\[C_0=5R/2, ~a=0, ~T_{1x}=2T_1, ~T_{2x}=3T_1\]Тогда в конце 1 процесса:
\[V_1=\dfrac{V_0}{2\sqrt{2}}\]В конце 2 процесса:
\[V_2=\dfrac{V_1}{e\sqrt{2}}=\dfrac{V_0}{4e}\]В конце 3 процесса:
\[V_3=V=\dfrac{4\sqrt{2}V_2}{9\sqrt{3}}=\dfrac{V_0\sqrt{2}}{9e\sqrt{3}}\]Найдем работу газа в адиабатическом процессе:
\[A=-\Delta U=-Q_V=-\frac{21}{4}RT_1\]