Обычно при изучении идеальных газов считается, что их молярная теплоемкость $C_V$ при постоянном объеме – константа, не зависящая от температуры и определяемая числом атомов в молекуле газа. Однако на самом деле эта теплоемкость может меняться. При очень низких температурах тепловой энергии оказывается недостаточно, чтобы вызвать вращательное движение молекул, и их можно рассматривать как одноатомные. Поэтому теплоемкость при низких температурах оказывается ниже, чем при высоких. В этой задаче мы рассмотрим несколько случаев меняющейся теплоемкости. При этом уравнение состояния идеального газа (то есть связь давления, объема и температуры) не меняется.

Часть A. Теплоемкость, линейно зависящая от температуры (5.7 баллов)

В этой части будем считать, что во всем интересующем нас интервале температур теплоемкость одного моля газа при постоянном объеме зависит от температуры как $C_{V} = C_0 + a T$ ($C_0, a > 0 $ – известные постоянные, не зависящие от температуры). Все процессы производятся с одним молем газа. Во всех ответах этой части можно использовать величины $C_0$, $a$, а также универсальную газовую постоянную $R$.

A1  ^0.50 Определите зависимость внутренней энергии такого газа от температуры. Считайте, что при $T = 0$ внутренняя энергия равна нулю.

A2  ^0.30 Чему равна теплоемкость газа $C_P$ при постоянном давлении при заданной температуре $T$?

A3  ^0.40 Пусть с газом производится изохорный процесс, при котором давление увеличивается от $p_1$ до $p_2$, объем равен $V$. Найдите подведенное количество теплоты $Q_V$.

A4  ^0.40 Пусть с газом производится изобарный процесс, начальный объем равен $V_1$, конечный $V_2$, давление $p$. Найдите подведенное количество теплоты $Q_P$.

A5  ^1.50 Рассмотрим цикл $123$, состоящий из процесса $1-2$, в котором давление прямо пропорционально объему, изохоры $2-3$ и изобары $3-1$. При этом известно, что $V_2 = 2 V_1$, а теплоемкости при постоянных объемах в точках 1 и 2 связаны соотношением $C_{V2} = 1.5 C_{V1}$. Определите коэффициент полезного действия этого цикла. Найдите численное значение. Значение $C_0 = 3R/2$.

A6  ^0.50 Рассмотрим адиабатический процесс, совершаемый с газом. Получите соотношение между бесконечно малыми приращениями объема $\mathrm dV$ и температуры $\mathrm dT$. Ответ выразите через $C_0$, $a$, $T$, $V$, $R$.

A7  ^0.90 Из соотношения в предыдущем пункте получите уравнение адиабаты, связывающее $T$ и $V$ вида
$$
f(T, V) = \mathrm{const},
$$в функцию $f$ могут также входить $C_0$, $a$, $R$.

A8  ^0.40 Рассмотрим цикл Карно $1234$, состоящий из изотерм $12$ и $34$ и адиабат $23$ и $41$. Выразите объемы $V_3$, $V_4$ через $V_1$, $V_2$, температуры на изотермах $T_+ = T_1 = T_2$, $T_- = T_3 = T_4$ и параметры газа $C_0$, $a$, $R$.

A9  ^0.80 Прямым вычислением (не используя общей формулы) покажите, что коэффициент полезного действия цикла Карно такой же, как и для идеального газа с постоянной теплоемкостью.

Часть B. Кусочно-линейная теплоемкость (3.3 балла)

В качестве более реалистичной модели зависимости теплоемкости газа от температуры можно предложить следующее. При $T< T_1$ теплоемкость $C_V$ постоянна и равна теплоемкости одноатомного газа $C_1 = 3R/2$. В интервале температур $T_1 < T < T_2$ теплоемкость растет по линейному закону, достигая при $T = T_2$ значения $C_2 = 5R/2$, отвечающего двухатомному газу. Далее теплоемкость остается постоянной. Будем рассматривать один моль такого газа, для которого $T_2 = 2 T_1$. Пусть начальная температура газа равна $T_A = T_1/2$. Будем различными способами увеличивать температуру газа до $T_B = 3 T_1$.

B1  ^1.00 Найдите количество теплоты, которое нужно подвести к газу при изохорном нагревании $Q_V$. Выразите ответ через $T_1$, $R$.

B2  ^0.50 Найдите количество теплоты, которое нужно подвести к газу при изобарном нагревании $Q_P$. Выразите ответ через $T_1$, $R$.

B3  ^1.80 Пусть начальный объем газа равен $V_0$. Чему будет равен конечный объем, если увеличение температуры производилось адиабатически? Найдите совершенную в этом процессе работу. Выразите ответы через $T_1$, $R$, $V_0$.