Usualmente, cuando estudiamos gases ideales, se asume que su capacidad calorífica molar a volumen constante \( C_V \) es una constante que no depende de la temperatura y está determinada por el número de átomos en la molécula del gas. Sin embargo, en la realidad, esta capacidad calorífica puede variar. A temperaturas muy bajas, la energía térmica no es suficiente para provocar el movimiento rotacional de las moléculas, y estas pueden considerarse como moléculas monoatómicas. Por lo tanto, la capacidad calorífica a bajas temperaturas es menor que a altas temperaturas. En este problema, analizaremos varios casos de capacidad calorífica variable. Al mismo tiempo, la ecuación de estado de un gas ideal (es decir, la relación entre presión, volumen y temperatura) no cambia.

Parte A: Capacidad calorífica lineal con la temperatura (5.7 puntos)

En esta parte, asumiremos que en todo el rango de temperaturas de interés, la capacidad calorífica de un mol de gas a volumen constante depende de la temperatura como: \[ C_V = C_0 + aT \]
Donde \( C_0, a > 0 \) son constantes conocidas e independientes de la temperatura. Todos los procesos se realizan con un mol de gas. En todas las respuestas de esta parte, puedes usar los valores \( C_0 \), \( a \), así como la constante universal de los gases \( R \).

A1  ^0.50 Determina la dependencia de la energía interna de dicho gas con la temperatura. Considera que cuando \( T = 0 \), la energía interna es cero.

A2  ^0.30 ¿Cuál es la capacidad calorífica del gas \( C_P \) a presión constante para una temperatura dada \( T \)?

A3  ^0.40 Se realiza un proceso isocórico con el gas, en el cual la presión aumenta de \( p_1 \) a \( p_2 \), manteniendo el volumen igual a \( V \). Encuentra la cantidad de calor suministrado \( Q_V \).

A4  ^0.40 Supón que se realiza un proceso isobárico con el gas, con volumen inicial \( V_1 \) y final \( V_2 \), a presión constante \( p \). Encuentra la cantidad de calor suministrado \( Q_P \).

A5  ^1.50 Consideremos el ciclo $123$, compuesto por un proceso $1-2$ en el que la presión es directamente proporcional al volumen, isocórico $2-3$ e isobárico $3-1$. Se sabe que \( V_2 = 2V_1 \), y que las capacidades caloríficas a volumen constante en los puntos 1 y 2 están relacionadas por \( C_{V2} = 1.5C_{V1} \). Determina la eficiencia de este ciclo. Encuentra el valor numérico, considerando \( C_0 = 3R/2 \).

A6  ^0.50 Considera un proceso adiabático realizado con el gas. Obtén la relación entre los incrementos infinitesimales de volumen \( dV \) y temperatura \( dT \). Expresa la respuesta en función de \( C_0, a, T, V, R \).

A7  ^0.90 A partir de la relación del punto anterior, obtén la ecuación adiabática que conecta \( T \) y \( V \). Escribe la forma \( f(T,V) = \text{const} \), donde \( f \) puede incluir también \( C_0, a, R \).

A8  ^0.40 Considera el ciclo de Carnot $1234$, compuesto por isotermas $12$ y $34$, y adiabatas $23$ y $41$. Expresa los volúmenes \( V_3, V_4 \) en función de \( V_1, V_2 \), las temperaturas en las isotermas \( T_+ = T_1 = T_2 \), \( T_- = T_3 = T_4 \), y los parámetros del gas \( C_0, a, R \).

A9  ^0.80 Mediante cálculo directo (sin usar una fórmula general), demuestra que la eficiencia del ciclo de Carnot es la misma que para un gas ideal con capacidad calorífica constante.

Parte B: Capacidad calorífica lineal por tramos (3.3 puntos)

Un modelo más realista de la dependencia de la capacidad calorífica del gas en función de la temperatura es el siguiente. Para \( T < T_1 \), \( C_V \) es constante e igual a la capacidad calorífica del gas monoatómico \( C_1 = 3R/2 \). Dentro del rango de temperatura \( T_1 < T < T_2 \), la capacidad calorífica crece de manera lineal, alcanzando en \( T = T_2 \) el valor \( C_2 = 5R/2 \), que corresponde a un gas diatómico. En adelante, la capacidad calorífica permanece constante. Consideremos para este gas que \( T_2 = 2T_1 \).

Sea la temperatura inicial del gas \( T_A = T_1/2 \). Aumentaremos la temperatura del gas de diversas formas hasta \( T_B = 3T_1 \).

B1  ^1.00 Encuentra la cantidad de calor que debe suministrarse al gas durante el calentamiento isocórico \( Q_V \). Expresa la respuesta en función de \( T_1, R \).

B2  ^0.50 Encuentra la cantidad de calor que debe suministrarse al gas durante el calentamiento isobárico \( Q_P \). Expresa la respuesta en función de \( T_1, R \).

B3  ^1.80 Sea el volumen inicial del gas \( V_0 \). ¿Cuál será el volumen final si el aumento de temperatura se produce de forma adiabática? Determina el trabajo realizado por el gas. Expresa tus respuestas en función de \( T_1, R, V_0 \).