Большинство физических систем не являются консервативными из-за наличия диссипативных сил. Примером таких сил может быть трение. В этой задаче мы рассмотрим примеры таких систем с простейшим случаем вязкого трения.

Часть А. Неподвижная среда (4 балла)

Пусть частица массой $m$ движется в неподвижной среде, в которой на неё действует сила вязкого трения $\vec{F}_\text{тр} = -\varepsilon m \vec{v}$, где $\vec v$ – скорость частицы. Ускорение свободного падения $\vec g$, изначально частица находилась в начале координат и имела скорость $\vec v_0$.

A1  ^1.30 Найдите траекторию движения $\vec r (t)$ для этой частицы. Выразите ответ в векторном виде через $\vec{v}_0$, $\vec{g}$, $\varepsilon$ или выразите зависимости компонент вектора $\vec{r}(t)$ в декартовой системе координат через компоненты векторов $\vec{v}_0$, $\vec{g}$.

A2  ^0.70 Как зависит от времени мощность потерь энергии $P(t)$, которая уходит в тепло? Выразите ответ через $\vec{v}_0$, $\vec{g}$, $\varepsilon$, $t$, $m$.

Рассмотрим теперь движение частицы в отсутствии силы тяжести, но теперь на неё действует постоянная по модулю вращающаяся сила $F_x = F_0 \cos(\omega t)$, $F_y = F_0 \sin(\omega t)$.

A3  ^2.00 Найдите мощность потерь $P$, которая уходит в тепло, через большое время после включения силы $t\gg1/\varepsilon$. Выразите ответ через $F_0$, $\varepsilon$, $m$, $\omega$.

Часть B. Вращающаяся среда (7 баллов)

B1  ^0.50 Найдите зависимость $z(t)$. Выразите ответ через $r_0$, $\varepsilon$, $g$.

B2  ^1.00 Выразите $\ddot{x}$ и $\ddot{y}$ через $x$, $y$, $\dot x$, $\dot y$, $\varepsilon$ и $\omega$.

Известно, что у полученных вами уравнений есть решение вида
$$
\left(x(t),y(t)\right)=\left(A e^{at} \cos(\Omega t + \varphi_0), A e^{at} \sin(\Omega t+ \varphi_0)\right).
$$Эти функции являются решениями при произвольных значениях $\varphi_0$, в частности при $\varphi_0 = 0$ и $\varphi_0 = \pi/2$ получим $$\left(x_1(t),y_1(t)\right)=\left(A e^{at} \cos(\Omega t), A e^{at} \sin(\Omega t)\right),$$ $$\left(x_2(t),y_2(t)\right)=\left(-A e^{at} \sin(\Omega t), A e^{at} \cos(\Omega t)\right).$$ При этом существует две пары возможных значений параметров $(a, \Omega)$.

B3  ^1.00 Используя решение $(x_1, y_1)$, получите систему уравнений, из которой можно определить возможные значения постоянных $a$ и $\Omega$. В ответ также могут входить $\varepsilon$, $\omega$.

B4  ^1.00 Решите полученную систему уравнений и найдите подходящие пары значений $(a_1, \Omega_1)$ и $(a_2, \Omega_2)$, если $a_2>a_1$. Выразите ответ через $\varepsilon$, $\omega$.

B5  ^0.50 Найдите приближённые значения этих величин в случаях $\varepsilon \ll \omega$ и $\varepsilon \gg \omega$.

В дальнейшем будем использовать обозначения
$$A\vec{r}_{1i}=\left(Ae^{a_it} \cos(\Omega_i t), A e^{a_it} \sin(\Omega_i t)\right), \;A\vec{r}_{2i}=\left(-Ae^{a_it} \sin(\Omega_i t), A e^{a_it} \cos(\Omega_i t)\right).$$ Здесь индекс $i$ может принимать два значения $1, 2$, отвечающие двум возможным значениям $(a, \Omega)$.

B6  ^1.50 Произвольное решение системы уравнений имеет вид
$$\left(x(t), y(t)\right) = A\vec r_{11}+B\vec r_{12}+C\vec r_{21}+D\vec r_{22}.$$ Используя начальные условия, приведенные во введении к части, выразите $A$, $B$, $C$ и $D$ через $r_0$, $a_1$, $a_2$, $\Omega_1$ и $\Omega_2$.

B7  ^0.50 Нарисуйте качественно траекторию движения частицы в плоскости $xy$ для случаев $\varepsilon \ll \omega$ и $\varepsilon \gg \omega$.

B8  ^1.00 Найдите мощность потерь энергии $P$, которая уходит в тепло, в момент, когда частица находится в точке с координатами $\vec r = (x,y,z)$ и движется со скоростью $\vec v = (v_x,v_y,v_z)$.