A1  ^1.30 Найдите траекторию движения $\vec r (t)$ для этой частицы. Выразите ответ в векторном виде через $\vec{v}_0$, $\vec{g}$, $\varepsilon$ или выразите зависимости компонент вектора $\vec{r}(t)$ в декартовой системе координат через компоненты векторов $\vec{v}_0$, $\vec{g}$.

Второй закон Ньютона:
$$m\dot{\vec v} = -\varepsilon m\vec v + m\vec g.$$Разобьём скорость на два слагаемых:
$$\vec v(t) = \vec u(t) + \frac{\vec g}{\varepsilon}.$$Уравнение на $\vec u$:
$$\dot{\vec u} = -\varepsilon \vec u.$$$$\vec v(t) = \frac{\vec g}{\varepsilon}+\left(\vec v_0-\frac{\vec g}{\varepsilon}\right) e^{-\varepsilon t}$$

A2  ^0.70 Как зависит от времени мощность потерь энергии $P(t)$, которая уходит в тепло? Выразите ответ через $\vec{v}_0$, $\vec{g}$, $\varepsilon$, $t$, $m$.

Запишем закон изменения энергии системы частица+среда:
$$m\left(\vec v, \dot{\vec v}\right) = m\left(\vec v, \vec g\right) - P.$$$$P = -m\left(\vec v, \dot{\vec v}-\vec g\right) = \varepsilon m v^2$$$$\vec v(t) = \frac{\vec g}{\varepsilon}\left(1-e^{-\varepsilon t}\right)+\vec v_0 e^{-\varepsilon t}$$$$v^2 = \frac{g^2\left(1-e^{-\varepsilon t}\right)^2}{\varepsilon^2} + v_0^2 e^{-2\varepsilon t}+\frac{2 \left(\vec v_0, \vec g\right)}{\varepsilon}\left(1-e^{-\varepsilon t}\right) e^{-\varepsilon t}$$

A3  ^2.00 Найдите мощность потерь $P$, которая уходит в тепло, через большое время после включения силы $t\gg1/\varepsilon$. Выразите ответ через $F_0$, $\varepsilon$, $m$, $\omega$.

За время $t\gg 1/\varepsilon$ движение устанавливается, при этом из изотропии системы понятно, что движение будет происходит по окружности с угловой скоростью $\omega$ и постоянной по модулю скоростью $u$. При этом угол между скоростью и силой постоянен и равен $\alpha$. Запишем второй закон Ньютона в проекции на направление скорости и на нормаль к нему.
$$\begin{cases}0 = F_0 \cos\alpha - \varepsilon m u\\
mu\omega = F_0 \sin \alpha
\end{cases}$$$$\tan \alpha = \frac{\omega}{\varepsilon}$$$$u = \frac{F_0\cos\alpha}{\varepsilon m} = \frac{F_0}{\varepsilon m} \frac{\varepsilon}{\sqrt{\varepsilon^2+\omega^2}} = \frac{F_0}{m\sqrt{\varepsilon^2+\omega^2}}$$Закон изменения энергии для системы:
$$P = F_0 u \cos\alpha = \frac{F_0^2\varepsilon}{m\left(\varepsilon^2+\omega^2\right)}.$$

B1  ^0.50 Найдите зависимость $z(t)$. Выразите ответ через $r_0$, $\varepsilon$, $g$.

Проекция второго закона Ньютона в проекции на ось $z$:
$$m\ddot{z} = -mg - \varepsilon m\dot z.$$$$\ddot{z} = -g - \varepsilon \dot z$$Решаем аналогично прошлой части задачи.

B2  ^1.00 Выразите $\ddot{x}$ и $\ddot{y}$ через $x$, $y$, $\dot x$, $\dot y$, $\varepsilon$ и $\omega$.

Второй закон Ньютона:
$$m\ddot{\vec r} = m\vec g + \varepsilon m\left(\left[\vec\omega, \vec r\right] - \dot{\vec r}\right).$$В проекции на оси $x$ и $y$:

B3  ^1.00 Используя решение $(x_1, y_1)$, получите систему уравнений, из которой можно определить возможные значения постоянных $a$ и $\Omega$. В ответ также могут входить $\varepsilon$, $\omega$.

Первый метод

Заметим, что достаточно рассмотреть одно из решение, так как другое получено поворотом системы относительно оси $z$, поэтому из симметрии коэффициенты зависимостей не поменяются. Подставим в ответ из прошлого пункта первый вариант решения.
$$\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right) = Ae^{at}
\left(
\begin{array}{c}
\cos\left(\Omega t\right) \\
\sin\left(\Omega t\right)
\end{array}
\right)$$$$\left(
\begin{array}{c}
\dot x \\
\dot y
\end{array}
\right) = Ae^{at}
\left(
\begin{array}{c}
a\cos\left(\Omega t\right) - \Omega\sin\left(\Omega t\right)\\
a\sin\left(\Omega t\right) + \Omega\cos\left(\Omega t\right)
\end{array}
\right)$$$$\left(
\begin{array}{c}
\ddot x \\
\ddot y
\end{array}
\right) = Ae^{at}
\left(
\begin{array}{c}
\left(a^2-\Omega^2\right)\cos\left(\Omega t\right) - 2a\Omega\sin\left(\Omega t\right)\\
\left(a^2-\Omega^2\right)\sin\left(\Omega t\right) + 2a\Omega\cos\left(\Omega t\right)
\end{array}
\right)$$Подставим в ответ прошлого пункта:
$$\left(
\begin{array}{c}
\left(a^2-\Omega^2\right)\cos\left(\Omega t\right) - 2a\Omega\sin\left(\Omega t\right)\\
\left(a^2-\Omega^2\right)\sin\left(\Omega t\right) + 2a\Omega\cos\left(\Omega t\right)
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
-\varepsilon\omega\sin\left(\Omega t\right) \\
\varepsilon\omega\cos\left(\Omega t\right)
\end{array}
\right) - \left(
\begin{array}{c}
a\varepsilon\cos\left(\Omega t\right) - \varepsilon\Omega\sin\left(\Omega t\right)\\
a\varepsilon \sin\left(\Omega t\right) + \varepsilon\Omega\cos\left(\Omega t\right)
\end{array}
\right)$$Приравниваем коэффициенты перед синусами и косинусами получим систему уравнение на $a$ и $\Omega$:
$$\begin{cases}
a^2-\Omega^2 = - a\varepsilon\\
2a\Omega = \varepsilon \omega - \varepsilon \Omega
\end{cases}$$

Второй метод

Рассмотрим плоское движение в полярных координатах $(r,\varphi)$.
$$\dot{\vec r} = \dot r \vec e_r + \dot \varphi r \vec e_\varphi$$$$\ddot {\vec r} = \left(\ddot r - \dot{\varphi}^2r\right)\vec e_r + \left(\ddot \varphi r + 2\dot r \dot \varphi\right) \vec e_\varphi$$Запишем второй закон Ньютона в проекции на $\vec e_r$ и $\vec e_\varphi$:
$$\begin{cases}
\ddot r - \dot{\varphi}^2r = -\varepsilon \dot r\\
\ddot \varphi r + 2\dot r \dot \varphi = \varepsilon\left(\omega r - \dot\varphi r\right)
\end{cases}$$Подставим $r = Ae^{at}$ и $\varphi = \Omega t$:
$$\begin{cases}
a^2 - \Omega^2 = -\varepsilon a\\
2a\Omega = \varepsilon\omega - \varepsilon\Omega
\end{cases}$$Получили систему уравнений аналогичную первому методу.

B4  ^1.00 Решите полученную систему уравнений и найдите подходящие пары значений $(a_1, \Omega_1)$ и $(a_2, \Omega_2)$, если $a_2>a_1$. Выразите ответ через $\varepsilon$, $\omega$.

Для решения преобразуем уравнения:
$$\begin{cases}
\Omega^2 = \left(a+\frac{\varepsilon}{2}\right)^2 - \frac{\varepsilon^2}{4}\\
\Omega = \frac{\varepsilon\omega}{2\left(a+\frac{\varepsilon}{2}\right)}
\end{cases}$$Обозначим $\gamma = \left(a+\frac{\varepsilon}{2}\right)^2$.
$$\frac{\varepsilon^2\omega^2}{4\gamma} = \Omega^2=\gamma-\frac{\varepsilon^2}{4}$$$$\gamma^2-\frac{\varepsilon^2}{4}\gamma=\frac{\varepsilon^2\omega^2}{4} = \left(\gamma - \frac{\varepsilon^2}{8}\right)^2 - \frac{\varepsilon^4}{64}$$$$\gamma = \frac{\varepsilon^2}{8} \pm \sqrt{\frac{\varepsilon^2\omega^2}{4}+\frac{\varepsilon^4}{64}}$$Заметим, что $\gamma>0$, поэтому подходит только корень со знаком $+$.
$$a+\frac{\varepsilon}{2} = \pm \sqrt{\frac{\varepsilon^2}{8} + \sqrt{\frac{\varepsilon^2\omega^2}{4}+\frac{\varepsilon^4}{64}}}$$$$a = \varepsilon\left(-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{8} + \sqrt{\frac{\omega^2}{4\varepsilon^2}+\frac{1}{64}}}\right)$$$$\Omega = \pm\frac{\omega}{\sqrt{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{4\omega^2}{\varepsilon^2}+\frac{1}{4}}}}$$

B5  ^0.50 Найдите приближённые значения этих величин в случаях $\varepsilon \ll \omega$ и $\varepsilon \gg \omega$.

B6  ^1.50 Произвольное решение системы уравнений имеет вид
$$\left(x(t), y(t)\right) = A\vec r_{11}+B\vec r_{12}+C\vec r_{21}+D\vec r_{22}.$$ Используя начальные условия, приведенные во введении к части, выразите $A$, $B$, $C$ и $D$ через $r_0$, $a_1$, $a_2$, $\Omega_1$ и $\Omega_2$.

Начальные условия: $x(0) = 0$, $y(0) = r_0$, $\dot x(0) = 0$ и $\dot y(0) = 0$.
$$\begin{cases}
A+B = r_0\\
C+D = 0\\
a_1A+a_2B-\Omega_1C-\Omega_2D=0\\
a_1C+a_2D+\Omega_1A+\Omega_2B=0
\end{cases}$$$$D = -C$$$$\begin{cases}
A+B = r_0\\
a_1A+a_2B=C\left(\Omega_1-\Omega_2\right)\\
\Omega_1A+\Omega_2B=C\left(a_2-a_1\right)
\end{cases}$$$$\frac{a_1A+a_2B}{\Omega_1A+\Omega_2B}=\frac{\Omega_1-\Omega_2}{a_2-a_1}$$$$A\left(a_1\left(a_2-a_1\right)+\Omega_1\left(\Omega_2-\Omega_1\right)\right)=B\left(a_2\left(a_1-a_2\right)+\Omega_2\left(\Omega_1-\Omega_2\right)\right)$$$$r_0 = A\frac{a_2\left(a_1-a_2\right)+\Omega_2\left(\Omega_1-\Omega_2\right)+a_1\left(a_2-a_1\right)+\Omega_1\left(\Omega_2-\Omega_1\right)}{a_2\left(a_1-a_2\right)+\Omega_2\left(\Omega_1-\Omega_2\right)}$$$$r_0 = A\frac{\left(a_2-a_1\right)^2+\left(\Omega_2-\Omega_1\right)^2}{a_2\left(a_2-a_1\right)+\Omega_2\left(\Omega_2-\Omega_1\right)}$$$$A = r_0 \frac{a_2\left(a_2-a_1\right)+\Omega_2\left(\Omega_2-\Omega_1\right)}{\left(a_2-a_1\right)^2+\left(\Omega_2-\Omega_1\right)^2}$$$$B = -r_0 \frac{a_1\left(a_2-a_1\right)+\Omega_1\left(\Omega_2-\Omega_1\right)}{\left(a_2-a_1\right)^2+\left(\Omega_2-\Omega_1\right)^2}$$$$C = \frac{a_1A+a_2B}{\Omega_1-\Omega_2}=r_0\frac{a_2\Omega_1-a_1\Omega_2}{\left(a_2-a_1\right)^2+\left(\Omega_2-\Omega_1\right)^2}$$$$D = r_0\frac{a_1\Omega_2-a_2\Omega_1}{\left(a_2-a_1\right)^2+\left(\Omega_2-\Omega_1\right)^2}$$

B7  ^0.50 Нарисуйте качественно траекторию движения частицы в плоскости $xy$ для случаев $\varepsilon \ll \omega$ и $\varepsilon \gg \omega$.

Для $\varepsilon \ll \omega$ получим: $$x(t) = r_0\cos\Omega_2 t \cosh \Omega_2 t$$$$y(t) = r_0\sin \Omega_2 t \sinh \Omega_2 t$$При пренебрежении затухающей экспонентой получается логарифмическая спираль. Угол между радиус-вектором и скоростью через большое время после начала движения равен $45^\circ$.

При $\varepsilon \gg \omega$ частица движется по окружности радиуса $r_0$ с медленно возрастающим радиусом:
$$x(t) \approx r_0 \cos \omega t$$$$y(t) \approx r_0 \sin \omega t$$

B8  ^1.00 Найдите мощность потерь энергии $P$, которая уходит в тепло, в момент, когда частица находится в точке с координатами $\vec r = (x,y,z)$ и движется со скоростью $\vec v = (v_x,v_y,v_z)$.

Запишем закон изменения энергии системы:
$$m\left(\vec v, \dot{\vec v}\right) = m\left(\vec g,\vec v\right) - P + W,$$где $W$ - мощность внешних сил, действующая на среду. Найдём $W$. Чтобы среда вращалась в постоянной угловой скоростью, на каждый её участок должна действовать сила с нулевой проекцией на направление скорости, поэтому на область, в которой находится частица, действует сила $-\vec F$ со стороны частицы и внешняя сила $\vec F$.
$$W = \left(\vec F, \left[\vec\omega, \vec r\right]\right)$$$$\left(\vec v, m\vec g + \vec F\right) = m\left(\vec g,\vec v\right) - P + \left(\vec F, \left[\vec\omega, \vec r\right]\right)$$$$P = \left(\vec F, \left[\vec\omega, \vec r\right]-\vec v\right) = \varepsilon m v_\text{отн}^2 = \varepsilon m \left(v_z^2+\left(v_x+\omega y\right)^2+\left(v_y-\omega x\right)^2\right)$$