|
1
Записан второй закон Ньютона: $$m\dot{\vec v} = -\varepsilon m\vec v + m\vec g.$$ |
0.20 |
|
|
2
Разбиение скорости на два слагаемых: $$\vec v(t) = \vec u(t) + \frac{\vec g}{\varepsilon}.$$ |
0.40 |
|
|
3
Получена зависимость $\vec u(t)$: $$\vec u(t) = \vec u_0 e^{-\varepsilon t}.$$ |
0.30 |
|
|
4
Получен итоговый ответ: $$\vec r(t) = \frac{\vec g t}{\varepsilon}+\left(\vec v_0-\frac{\vec g}{\varepsilon}\right) \frac{1-e^{-\varepsilon t}}{\varepsilon}.$$ |
0.40 |
|
|
1
Записан закон изменения энергии системы: $$m\left(\vec v, \dot{\vec v}\right) = m\left(\vec v, \vec g\right) - P.$$ |
0.30 |
|
|
2
Получен ответ: $$P = \varepsilon m \left(\frac{g^2\left(1-e^{-\varepsilon t}\right)^2}{\varepsilon^2} + v_0^2 e^{-2\varepsilon t}+\frac{2 \left(\vec v_0, \vec g\right)}{\varepsilon}\left(1-e^{-\varepsilon t}\right) e^{-\varepsilon t}\right).$$ |
0.40 |
|
| 1 Указано, что движение будет происходить по окружности. | 0.50 |
|
|
2
Найден угол между скоростью и силой: $$\tan \alpha = \frac{\omega}{\varepsilon}.$$ |
0.50 |
|
|
3
Найдена скорость частицы: $$u = \frac{F_0}{m\sqrt{\varepsilon^2+\omega^2}}.$$ |
0.50 |
|
|
4
Получен ответ: $$P = \frac{F_0^2\varepsilon}{m\left(\varepsilon^2+\omega^2\right)}.$$ |
0.50 |
|
|
1
Написано дифференциальное уравнение на $z$: $$\ddot{z} = -g - \varepsilon \dot z.$$ |
0.20 |
|
|
2
Получен ответ: $$z(t) = -\frac{gt}{\varepsilon}+\frac{g\left(1-e^{-\varepsilon t}\right)}{\varepsilon^2}.$$ |
0.30 |
|
|
1
Записан второй закон Ньютона: $$m\ddot{\vec r} = m\vec g + \varepsilon m\left(\left[\vec\omega, \vec r\right] - \dot{\vec r}\right).$$ |
0.20 |
|
|
2
Получен ответ: $$\begin{cases} \ddot{x}=\varepsilon\left(-\omega y - \dot x\right)\\ \ddot y =\varepsilon\left(\omega x - \dot y\right) \end{cases}$$ |
2 × 0.40 |
|
|
1
M1
Получены значения производных: $$\left( \begin{array}{c} \dot x \\ \dot y \end{array} \right) = Ae^{at} \left( \begin{array}{c} a\cos\left(\Omega t\right) - \Omega\sin\left(\Omega t\right)\\ a\sin\left(\Omega t\right) + \Omega\cos\left(\Omega t\right) \end{array} \right)$$ |
2 × 0.20 |
|
|
2
M1
Получены значения вторых производных: $$\left( \begin{array}{c} \ddot x \\ \ddot y \end{array} \right) = Ae^{at} \left( \begin{array}{c} \left(a^2-\Omega^2\right)\cos\left(\Omega t\right) - 2a\Omega\sin\left(\Omega t\right)\\ \left(a^2-\Omega^2\right)\sin\left(\Omega t\right) + 2a\Omega\cos\left(\Omega t\right) \end{array} \right)$$ |
2 × 0.20 |
|
|
3
M2
Записана скорость в полярной системе координат: $$\dot{\vec r} = \dot r \vec e_r + \dot \varphi r \vec e_\varphi.$$ |
0.30 |
|
|
4
M2
Записано ускорение в полярной системе координат: $$\ddot {\vec r} = \left(\ddot r - \dot{\varphi}^2r\right)\vec e_r + \left(\ddot \varphi r + 2\dot r \dot \varphi\right) \vec e_\varphi.$$ |
0.50 |
|
|
5
Получен ответ: $$\begin{cases} a^2 - \Omega^2 = -\varepsilon a\\ 2a\Omega = \varepsilon\omega - \varepsilon\Omega \end{cases}$$ |
0.20 |
|
|
1
Получено правильное уравнение на одну неизвестную: $$\frac{\varepsilon^2\omega^2}{4\left(a+\frac{\varepsilon}{2}\right)^2} = \left(a+\frac{\varepsilon}{2}\right)^2-\frac{\varepsilon^2}{4}$$ |
0.20 |
|
|
2
Получены значения $a$: $$a_1 = \varepsilon\left(-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{8} + \sqrt{\frac{\omega^2}{4\varepsilon^2}+\frac{1}{64}}}\right)$$$$a_2 = \varepsilon\left(-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{8} + \sqrt{\frac{\omega^2}{4\varepsilon^2}+\frac{1}{64}}}\right)$$ |
2 × 0.20 |
|
|
3
Получены значения $\Omega$: $$\Omega_1 = -\frac{\omega}{\sqrt{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{4\omega^2}{\varepsilon^2}+\frac{1}{4}}}}$$$$\Omega_2 = \frac{\omega}{\sqrt{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{4\omega^2}{\varepsilon^2}+\frac{1}{4}}}}$$ |
2 × 0.20 |
|
|
1
Для $\varepsilon \ll \omega$ получены пары значений $\left(a_1,\Omega_1\right)$ и $\left(a_2,\Omega_2\right)$: $$a_1 = -\sqrt{\frac{\omega\varepsilon}{2}}=\Omega_1$$$$a_2 = \sqrt{\frac{\omega\varepsilon}{2}}=\Omega_2$$ |
2 × 0.15 |
|
|
2
Для $\varepsilon \gg \omega$ получены пары значений $\left(a_1,\Omega_1\right)$ и $\left(a_2,\Omega_2\right)$: $$a_1 = -\varepsilon$$$$a_2 = 0$$$$\Omega_1 = -\omega$$$$\Omega_2 = \omega$$ |
2 × 0.10 |
|
|
1
Записаны начальные условия на координаты: $$\begin{cases} A+B = r_0\\ C+D = 0 \end{cases}$$ |
2 × 0.10 |
|
|
2
Записаны начальные условия на скорость: $$\begin{cases} a_1A+a_2B-\Omega_1C-\Omega_2D=0\\ a_1C+a_2D+\Omega_1A+\Omega_2B=0 \end{cases}$$ |
2 × 0.15 |
|
|
3
Получены ответы: $$A = r_0 \frac{a_2\left(a_2-a_1\right)+\Omega_2\left(\Omega_2-\Omega_1\right)}{\left(a_2-a_1\right)^2+\left(\Omega_2-\Omega_1\right)^2}$$$$B = -r_0 \frac{a_1\left(a_2-a_1\right)+\Omega_1\left(\Omega_2-\Omega_1\right)}{\left(a_2-a_1\right)^2+\left(\Omega_2-\Omega_1\right)^2}$$$$C =r_0\frac{a_2\Omega_1-a_1\Omega_2}{\left(a_2-a_1\right)^2+\left(\Omega_2-\Omega_1\right)^2}$$$$D = r_0\frac{a_1\Omega_2-a_2\Omega_1}{\left(a_2-a_1\right)^2+\left(\Omega_2-\Omega_1\right)^2}$$ |
4 × 0.25 |
|
| 1 Правильно изображена траектория для случая $\varepsilon \ll \omega$. | 0.25 |
|
| 2 Правильно изображена траектория для случая $\varepsilon \gg \omega$. | 0.25 |
|
|
1
Записан закон изменения энергии системы: $$m\left(\vec v, \dot{\vec v}\right) = m\left(\vec g,\vec v\right) - P + W.$$ |
0.30 |
|
|
2
Найдена мощность внешних сил: $$W = \left(\vec F, \left[\vec\omega, \vec r\right]\right).$$ |
0.30 |
|
|
3
Получен ответ: $$P = \varepsilon m \left(v_z^2+\left(v_x+\omega y\right)^2+\left(v_y-\omega x\right)^2\right).$$ |
0.40 |
|