В этой задаче исследуется зависимость вязкости смеси глицерина и воды от температуры и их относительной концентрации. Вязкость — это способность жидкости сопротивляться течению. Чем жидкость более вязкая, тем труднее ее прокачать по трубам, а значит, возникает необходимость применять более мощные насосы и более крепкие трубы, рассчитанные на повышенное давление.
Существует несколько способов численного решения уравнений.
Метод простой итерации (МПИ) – один из простейших методов численного решения уравнений. Его удобно использовать для численного нахождения величин, заданных неявно как решение некоторого уравнения. Чтобы решить уравнение с помощью МПИ, его необходимо представить в виде\[x=f(x).\tag{1}\]Подставляя в качестве аргумента функции начальное приближение $x_0$, мы получим первое приближение $x_1$. Далее, подставляя $x_1$ в качестве аргумента функции, мы получим уже второе приближение $x_2$, и т.д. Функцию $f(x)$ всегда можно выбрать так, чтобы разница между последовательными приближениями уменьшалась, а результат вычислений становился всё ближе к правильному ответу. Для этого нужно, чтобы в достаточно большой окрестности правильного ответа производная функции $f(x)$ была по модулю меньше единицы. Если это не так, самый простой способ – переопределить $f(x)$:\[f(x)\to ax+(1-a)f(x).\]Это преобразование инвариантно относительно уравнения $(1)$ и на практике почти всегда позволяет достичь сходимости при должном подборе $a\in \mathbb R$.
Поскольку для хранения промежуточного значения в калькуляторе используется переменная $\mathrm{Ans}$, практическая реализация МПИ состоит в том, чтобы приравнять $\mathrm{Ans}$ к начальному приближению и начать много раз вычислять $f(\mathrm{Ans})$. При правильном подборе функции $f(x)$ результат вычислений быстро сойдётся к правильному ответу.
Другой популярный метод численного решения уравнений – метод деления отрезка. Чаще всего встречается деление отрезка пополам. Суть метода состоит в последовательном уменьшении отрезка, внутри которого лежит искомое решение уравнения. Для этого на каждой итерации этот отрезок делится на равные части, левая и правая части уравнения вычисляются в полученных точках, и в качестве нового отрезка выбирается тот, на котором разность левой и правой частей меняет знак. В качестве оценки для корня обычно выбирают середину отрезка.
Один из вариантов практической реализации деления отрезка – использование режима Table, который поддерживают некоторые модели калькуляторов. Этот режим позволяет рассчитать значения заданной функции с равным шагом в заданном диапазоне аргумента. Обычно памяти калькулятора хватает на вычисление функции примерно в 20–25 точках, поэтому на каждой итерации можно эффективно делить отрезок примерно в 20 раз.
Температура, при которой некристаллизующееся или не успевающее закристаллизоваться вещество становится твёрдым, переходя в стеклообразное состояние, называется температурой стеклования $T_g$.
Для смеси воды и глицерина зависимость температуры стеклования от массовой доли глицерина $w_g$ можно с хорошей точностью описать многочленом:$$T_g(К)=140.3+35.272w_g-3.879w_g^2+ 23.467w_g^3.\tag{2}$$Используя данное выражение и зная температуру стеклования, можно определить значение концентрации глицерина.
Считайте известными следующие численные данные:
Во всех частях задачи вы можете считать объем смеси равным сумме объемов составляющих этой смеси компонент.
В общем случае задачу о вязкости смеси веществ решить не представляется возможным, однако для смеси воды и глицерина можно воспользоваться эмпирической формулой:$$\eta=\xi \cdot \frac{\exp(-kn_w)}{1+a \cdot \exp(bn_w)}.$$ Если значение молярной концентрации воды в смеси достаточно мало, то можно считать, что $a \cdot \exp(bn_w) \ll 1.$ Поэтому для упрощения анализа представленной зависимости предлагается использовать приближение, работающее только при малых молярных концентрациях воды:$$\eta=\xi \cdot \exp(-kn_w){.}$$
В таблице в листах ответов представлена экспериментальная зависимость вязкости от температуры стеклования смеси глицерина и воды. Измерения проводились при температуре $T=25~^\circ \mathrm C$.
Для описания зависимости вязкости $\eta$ от температуры $T$ часто используют модифицированное уравнение Андраде$$\eta = A \cdot \exp\left(\frac{B}{T} + C\right),\tag{3}$$где $A$, $B$ и $C$ – некоторые постоянные. Оно хорошо описывает поведение смеси при больших температурах, однако перестаёт работать при приближении к температуре стеклования.
При низких температурах, близких к температуре стеклования, вместо $(1)$ удобно использовать уравнение Вогеля–Таммана–Фульхера:\[\eta = \eta_0 \cdot \exp\left(\frac{DT_0}{T - T_0}\right),\tag{4}\]где $\eta_0$, $D$ и $T_0$ — некоторые постоянные.
В таблице представлена экспериментальная зависимость вязкости смеси от температуры. Измерения производились со смесью с объемной концентрацией глицерина $c_g=0.5$.
Будем считать известным значение $\eta_0=3.33\cdot 10^{-3}~{Па\cdot с}.$
В данной части задачи предлагается найти численное значение вязкости смеси с помощью двух полученных ранее зависимостей. Для возможности сравнения полученных результатов в обоих случаях смесь находится в одинаковых условиях.