A1  ^0.50 Выразите молярную концентрацию воды $n_w$ в растворе через массовую концентрацию глицерина $w_g$, $\mu_w$ и $\mu_g$.

Количество вещества в смеси определяется как:

\[\nu=\dfrac{m}{\mu},\]где $m$ - масса вещества, а $\mu$ - его молярная масса.

Запишем формулу для молярной концентрации воды:

\[n_w=1-n_g=1-\dfrac{\nu_g}{\nu_g+\nu_w},\]отсюда:

A2  ^2.00 Используя уравнение $(2)$, пересчитайте значения $T_g$ в значения $w_g$.

Методом table или методом простых итераций с $a=0.9$, получим:

A3  ^0.30 Предложите линеаризацию, описывающую систему с малой молярной концентрацией воды, с помощью которой можно будет определить параметры $\xi$ и $k$.

A4  ^1.20 Постройте график линеаризованной зависимости в диапазоне $n_w \in [0, 0.2]$. Определите параметры $\xi$ и $k$, используя полученный график.

Произведём пересчёт точек в зависимость $\operatorname{ln}\dfrac{\eta}{1~Па\cdot с}(n_w)$.

$T_g,~К$	$w_g$	$\eta,~Па\cdotс$	$n_w$	$\operatorname{ln} \eta$
195.2	1.000	0.906	0	-0.099
194.8	0.996	0.839	0.020	-0.176
194.6	0.994	0.767	0.030	-0.265
193.9	0.987	0.655	0.063	-0.423
193.1	0.979	0.558	0.099	-0.583
191.8	0.965	0.479	0.156	-0.736
190.8	0.954	0.373	0.198	-0.986
188.6	0.930	0.202	0.278	-1.600
183.4	0.869	0.0674
173.0	0.728	0.0278
170.0	0.682	0.0134
154.6	0.384	0.0026
149.3	0.252	0.0017
143.8	0.100	0.0012
140.3	0	0.0009

Аппроксимируя зависимость прямой, получим: \[k=4.31,\] \[\operatorname{ln}\dfrac{\xi}{1~Па\cdot с}=-0.12,\]откуда следует:

A5  ^0.30 Зная параметры $\xi$ и $k$ предложите линеаризацию, позволяющую определить значения параметров $a$ и $b$.

A6  ^1.20 Постройте график линеаризованной зависимости. Из графика определите $a$ и $b$.

Примечание: в силу неточности экспериментальных данных некоторые значения пересчитать не получится. Таких значений не более 5.

Продолжим пересчёт точек:

$T_g,~К$	$w_g$	$\eta,~Па\cdotс$	$n_w$	$\operatorname{ln}|\dfrac{\xi \operatorname{exp}(-kn_w)}{\eta}-1|$
195.2	1.000	0.906	0	-3.92
194.8	0.996	0.839	0.020	-3.54
194.6	0.994	0.767	0.030	-4.12
193.9	0.987	0.655	0.063	-3.44
193.1	0.979	0.558	0.099	-3.28
191.8	0.965	0.479	0.156	-2.91
190.8	0.954	0.373	0.198	-4.35
188.6	0.930	0.202	0.278	-1.12
183.4	0.869	0.0674	0.435	0.02
173.0	0.728	0.0278	0.656	-0.12
170.0	0.682	0.0134	0.704	0.78
154.6	0.384	0.0026	0.891	1.85
149.3	0.252	0.0017	0.938	2.10
143.8	0.100	0.0012	0.979	2.29
140.3	0	0.0009	1	2.50

Нанесём полученные точки на график:

В диапазоне $n_w \in [0, 0.2]$ выражение под логарифмом имеет разный знак и является околонулевым, поэтому функция в этой области ведёт себя немонотонно. Для проведения прямой учитываем только точки в диапазоне $n_w \in [0.7, 1].$

При $n_w>0.7$ выполняется $\dfrac{\xi \operatorname{exp}(-kn_w)}{\eta}>1$, поэтому $a>0$.
Проведя аппроксимирующую прямую, находим: \[b=5.66,\]\[\operatorname {ln} a=-3.21,\]отсюда:

A7  ^1.00 Постройте на одной миллиметровке график теоретической и экспериментальной зависимостей $\eta(n_w)$.

Рассчитаем теоретические значения $\eta(n_w)$:

$T_g,~К$	$w_g$	$\eta,~Па\cdotс$	$n_w$	$\operatorname{ln} \eta$	$\operatorname{ln}|\dfrac{\xi \operatorname{exp}(-kn_w)}{\eta}-1|$	$\eta_{теор},~Па\cdotс$
195.2	1.000	0.906	0	-0.099	-3.92	0.853
194.8	0.996	0.839	0.020	-0.176	-3.54	0.779
194.6	0.994	0.767	0.030	-0.265	-4.12	0.744
193.9	0.987	0.655	0.063	-0.423	-3.44	0.640
193.1	0.979	0.558	0.099	-0.583	-3.28	0.541
191.8	0.965	0.479	0.156	-0.736	-2.91	0.413
190.8	0.954	0.373	0.198	-0.986	-4.35	0.337
188.6	0.930	0.202	0.278	-1.600	-1.12	0.224
183.4	0.869	0.0674	0.435		0.02	0.0926
173.0	0.728	0.0278	0.656		-0.12	0.0199
170.0	0.682	0.0134	0.704		0.78	0.0135
154.6	0.384	0.0026	0.891		1.85	0.0026
149.3	0.252	0.0017	0.938		2.10	0.0017
143.8	0.100	0.0012	0.979		2.29	0.0012
140.3	0	0.0009	1		2.50	0.0010

Построим график полученных зависимостей:

Проведя сглаживающие кривые, делаем вывод: уравнение применимо на всём диапазоне ($n_w \in [0, 1]$).

B1  ^0.50 Используя уравнение $(2)$, определите температуру стеклования раствора $T_g$.

Выразим $w_g$: \[w_g=\dfrac{m_g}{m_g+m_w}=\dfrac{\rho_gc_g}{(\rho_g-\rho_w)c_g+\rho_w},\] тогда:

B2  ^2.00 Предложите линеаризацию, позволяющую определить значения параметров $D$ и $T_0$. Построив график линеаризованной зависимости, определите значения этих параметров.

Зависимость $\dfrac{1}{\operatorname {ln}\dfrac{\eta}{\eta_0}}(T)$ линейна с угловым коэффициентом $k=\dfrac{1}{DT_0}$ и свободным членом $b=-\dfrac{1}{D}$. Пересчитаем точке по данной формуле и построим график линеаризованной зависимости:

$T,~^\circ C$	$\eta,~Па\cdotс$	$T,~К$	$\dfrac{1}{\operatorname {ln}\dfrac{\eta}{\eta_0}}$
1	0.0201	274	0.556
4	0.0173	277	0.607
11	0.0128	284	0.743
15	0.0104	288	0.878
35	0.0046	308	3.10
44	0.0034	317	48.1
50	0.0031	323	-14.0
56	0.0026	329	-4.04
60	0.0022	333	-2.41
67	0.0020	340	-1.96
71	0.0017	344	-1.487
76	0.00145	349	-1.20
85	0.0013	358	-1.06
90	0.0011	363	-0.903
96	0.0010	369	-0.831
100	0.0009	373	-0.764

Построим график полученной зависимости:

Из предложенного уравнения следует, что оно может выполняться только при достаточно низких температурах. Из графика видно, что уравнение применимо для первых 4 точек графика (при $T<288~К$). Продемонстрируем это наглядно:

Определив параметры аппроксимирующей прямой, получим систему уравнений:
\[\begin{cases}-\dfrac{1}{D}=-5.60\\
\dfrac{1}{DT_0}=0.022 К^{-1},\end{cases}\]
откуда следует:

С1  ^0.40 Определите вязкость смеси $\eta_n$ при объемной концентрации глицерина $c_g=0.5$ и температуре $T=25~^\circ \mathrm C$, используя зависимость от молярной концентрации воды.

Уравнение, полученное для $\eta_n(n_w)$ применимо на всем диапазоне. Поэтому достаточно пересчитать $c_g$ в $n_w$: \[n_w=1-\frac{w_g\mu_w}{\mu_g-w_g(\mu_g-\mu_w)}=1-\frac{\dfrac{\rho_gc_g}{(\rho_g-\rho_w)c_g+\rho_w}\mu_w}{\mu_g-\dfrac{\rho_gc_g}{(\rho_g-\rho_w)c_g+\rho_w}(\mu_g-\mu_w)}\approx 0.80\] и подставить в полученное уравнение. Таким образом получаем:

С2  ^0.40 Определите вязкость смеси $\eta_t$ при тех же условиях, используя зависимость от температуры.

Уравнение, полученное для $\eta_t(T)$ непременимо при $T=25^\circ C$. Определить вязкость при данной температуре можно, например, графическим методом, построив кривую $\eta_t(T)$, однако ответ с хорошей точностью даёт линейное приближение: \[\eta_{25}\approx\dfrac{\eta_{15}+\eta_{35}}{2}=7.5~мПа\cdot с.\]

С3  ^0.20 Сравните полученные результаты. Если есть расхождения, предложите возможную причину их возникновения.