Logo
Logo

Двойная гантель

A1  0,30 Найдите вектор угловой скорости второго стержня в начальный момент времени. Ответ выразите через $\vec\omega$.

В момент начала вращения шарик на конце второго стержня неподвижен. Поэтому стержни начинают вращаться в противоположных направлениях. Поскольку шарики покоятся и длины стержней одинаковы
$$\vec{\omega}_2=-\vec{\omega}_1
$$

A2  0,20 В начальный момент времени найдите вектор угловой скорости $\vec\omega_{отн_0}$второго стержня в системе отсчёта, связанной с первым стержнем. Ответ выразите через $\vec\omega$

Из закона сложения угловых скоростей
$$\vec{\omega}_{отн}=\vec{\omega}_2-\vec{\omega}_1
$$
Комбинируя равенство с результатом пункта $A1$
$$\vec{\omega}_{отн}=-2\vec{\omega}
$$

A3  0,50 Найдите потенциальную энергию груза в поле центробежной силы на расстоянии $r$ от оси вращения с точностью до произвольной постоянной. Ответ выразите через $m$, $\omega$, $r$.

Потенциальная энергия может быть получена как потенциальная энергия пружины с коэффициентом жёсткости $-m{\omega}^2$. Отсюда
$$W_p=-\frac{m{\omega}^2r^2}{2}+C
$$
В дальнейшем константу будем считать равной нулю.

A4  0,50 Пусть второй стержень повернулся на угол $\varphi$ относительно первого. Найдите его угловую скорость $\omega_{отн}$ в данном положении. Ответ выразите через $\omega$ и $\varphi$.

Как и говорилось ранее, сила Кориолиса не меняет кинетическую энергию системы. Тогда в системе выполняется закон сохранения механической энергии
$$W_k+W_p=E
$$
В начальный момент времени
$$2m{\omega}^2L^2=W_k
$$
$$-2m{\omega}^2L^2=W_p
$$
Таким образом
$$E=0
$$
В произвольный момент времени
$$W_k=\frac{m{\omega_{отн}}^2L^2}{2}
$$
$$W_p=-2m{\omega}^2L^2\cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)
$$
Откуда
$$\vec{\omega}_{отн}=-2\vec{\omega}\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)
$$

A5  0,50 Найдите скорость груза в неподвижной системе отсчёта. Ответ выразите через $\omega$, $L$, $\varphi$.

Одна составляющая скорости будет направлена вдоль второго стержню, а другая - перпендикулярно ему. Получим
$$v_1={\omega}L\sin(\varphi)
$$
$$v_2={\omega}L(1+\cos(\varphi))-{\omega_{отн}}L
$$
Для квадрата скорости получим
$$v^2={v_1}^2+{v_2}^2=(2\omega{L})^2\left(\left(\cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)-\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)^2+\sin^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)
$$
Откуда после простых преобразований
$$v=2{\omega}L\sqrt{2\left(\cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)-\cos^3\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)}
$$

B1  0,40 Обозначим силу натяжения стержней за $T$
$$
$$
Найдите ускорения грузов $a_{1л}$,$a_{1п}$ в проекции на ось $OX$ и ускорение шарнира $a_2$ в проекции на ось $OY$.Ответы выразите через $m$.$g$.$T$ и $\varphi$.

$$a_{1лx}=\frac{T\cos(\varphi)}{m}
$$
$$a_{1пx}=-\frac{T\cos(\varphi)}{m}
$$
$$a_{2y}=-\left(\frac{T\sin(\varphi)}{m}+g\right)
$$

B2  0,60 В указанном положении найдите скорости грузов $v_1$ и скорость шарнира $v_2$.

Из закона сохранения механической энергии
$$\frac{2m}{2}({v_1}^2+{v_2}^2)=2m\left(\frac{{v_0}^2}{2}-gL\sin(\varphi)\right)
$$
Уравнение кинематической связи
$${v_1}={v_2}\tan(\varphi)
$$
Откуда
$$v_1=\sqrt{{v_0}^2-2gL\sin(\varphi)}\sin(\varphi)
$$
$$v_2=\sqrt{{v_0}^2-2gL\sin(\varphi)}\cos(\varphi)
$$

B3  1,00 Запишите уравнение движения шарнира относительно любого из грузов,связывающее $v_1$,$v_2$,$a_1$,$a_2$,$L$ и $\varphi$

Относительно грузов шарнир движется по окружности. Отсюда
$$\frac{v^2_{отн}}{L}={a_{1лx}}\cos(\varphi)-{a_{2y}}\sin(\varphi)
$$
Поскольку скорости шарнира и грузов перпендикулярны
$$v^2_{отн}={v_1}^2+{v_2}^2
$$
и окончательно
$$\frac{{v_1}^2+{v_2}^2}{L}={a_{1лx}}\cos(\varphi)-{a_{2y}}\sin(\varphi)
$$

B4  0,70 Найдите силу натяжения $T$ из уравнения,полученного в пункте $B3$.Ответ выразите через $m,{v_0},g,L,{\varphi}$

Комбинируя результаты первых трёх пунктов
$$\left(\frac{{v_0}^2}{L}-2g\sin(\varphi)\right)=\frac{T}{m}+g\sin(\varphi)
$$
откуда
$$T=m\left(\frac{{v_0}^2}{L}-3g\sin(\varphi)\right)
$$

B5  1,00 Предположим, что в некоторый момент грузы отрываются от поверхности.
$$
$$
Найдите значение угла $\varphi_{отр}$ в этот момент времени.

Условие, при котором грузы отрываются от поверхности
$$T\sin(\varphi)=mg
$$
Подставляя ответ на пункт $B4$
$$m\left(\frac{{v_0}^2}{L}-3g\sin(\varphi)\right)\sin(\varphi)=mg
$$
откуда
$$3\sin^2(\varphi)-\frac{{v_0}^2}{gL}\sin(\varphi)+1=0
$$
Найдём корни квадратного уравнения
$$\sin(\varphi)=\frac{\frac{{v_0}^2}{gL}\pm\sqrt{\left(\frac{{v_0}^2}{gL}\right)^2-12}}{6}
$$
Первым достигается меньший корень, а потому окончательный ответ
$$\sin(\varphi)=\frac{\frac{{v_0}^2}{gL}-\sqrt{\left(\frac{{v_0}^2}{gL}\right)^2-12}}{6}
$$

B6  0,50 Найдите минимальное значение $v_0$, при котором грузы оторвутся от поверхности и значение угла $\varphi' $ в момент отрыва

Дискриминант квадратного уравнения должен быть неотрицателен, откуда
$$v_0\geq{\sqrt{2\sqrt{3}gL}}
$$
Минимум достигается в случае нулевого дискриминанта, поэтому
$$sin(\varphi_{max})=\frac{1}{\sqrt{3}}
$$

C1  0,20 При каких значениях $R$ столкновение оболочек происходит раньше их отрыва от поверхности под действием стержней? Ответ выразите через $L$,$\varphi_{отр}$,

Условие, при котором столкновение произойдёт раньше отрыва
$$R\geq{L}\cos(\varphi)
$$

C2  1,00 Пусть сразу после столкновения проекции скорости груза на оси $OX$ и $OY$ равны $v_{1x}$ и $v_{1y}$ соответственно.
$$
$$
Выразите проекцию скорости шарнира на вертикальную ось $v_{2y}$ через $v_{1x}$,$v_{1y}$ и ${\varphi_0}$.

Груз движется по окружности относительно шарнира, поэтому
$$\pm{v_{1x}}=(v_{1y}-v_{2y})\tan(\varphi_0)
$$
$$v_{2y}=v_{1y}\pm{\frac{v_{1x}}{\tan(\varphi_0)}}
$$

C3  1,30 Найдите скорость шарнира $v_2$ сразу после соударения. Ответ выразите через ${v_0},g,{L},R$

Решим задачу в системе отсчёта центра масс. Пусть $v_x$ и $v_y$ - модуль относительной скорости грузов и модуль скорости груза относительно шарнира по вертикали соответственно. Тогда выражение для кинетической энергии в системе отсчёта центра масс следующее
$$\frac{m{v_x}^2}{4}+\frac{m{v_y}^2}{2}=W_k
$$
После соударения это также выполняется.
$$
$$
Из уравнения кинематической связи
$$\frac{v_x}{v_y}=tg(\varphi_0)
$$
Сразу после соударения это соотношение также выполняется. Поэтому, из закона сохранения энергии следует, что после соударения модули относительных скоростей остаются постоянными. Это говорит о том, что грузы обмениваются друг с другом горизонтальными составляющими скоростей, а шарнир обменивается с ними вертикальными составляющими скоростей. Таким образом, при соударении шарнир останавливается.
$$v_{2}=0
$$

C4  1,30 Найдите модуль скоростей грузов $v_1$ сразу после соударения.Ответ выразите через ${v_0},g,{L},R$

Вся кинетическая энергия переходит к грузам. Из закона сохранения энергии получаем ответ
$$v_{1}=\sqrt{{v_0}^2-2g\sqrt{L^2-R^2}}
$$