(a)  ^2.00 Выразите $V_{1}$ и $V_{2}$ через параметры, приведённые выше.

Критические напряжения

Мощность, рассеиваемая на резисторе, равна $P_{\text {el }}=V^{2} / R_{j}$. Тепловое равновесие достигается, когда $P_{\text {el }}=P=\alpha\left(T_{\text {eq }}-T_{0}\right)$. Чтобы предотвратить колебания, равновесная температура $T_{\text {eq }}$ должна удовлетворять условию $T_{\text {eq }}< T_{c}$, если $R=R_{1}$, и $T_{\text {eq }}>T_{c}$, если $R=R_{2}$. Решая относительно $V$, получаем
\begin{equation*}
V=\sqrt{R_{j} \alpha\left(T_{\mathrm{eq}}-T_{0}\right)} . \tag{1}
\end{equation*}Таким образом, получаем критические значения

(b)  ^6.00 Полагая, что $V_{1}<V<V_{2}$, постройте качественный график зависимости температуры резистора $T$ от времени $t$ и найдите отношение $\left(T_{\text {max }}-T_{0}\right) /\left(T_{\text {min }}-T_{0}\right)$, где $T_{\text {max }}$ и $T_{\text {min }}$ –  максимальное и минимальное значения $T$, соответственно.

Зависимость температуры

В режиме колебаний ток $I(t)$ зависит от времени. Мощность, рассеиваемая на резисторе, равна $P_{\mathrm{el}}(t)=$ $R(t) I(t)^{2}$. По предположению (ii) можно считать, что тепловое равновесие достигается очень быстро, т.е. $P_{\mathrm{el}}(t)=P(t)$. Таким образом, температура $T(t)$ определяется током через выражение
\begin{equation*}
T(t)=T_{0}+\frac{R(t) I(t)^{2}}{\alpha}. \tag{3}
\end{equation*}Если сопротивление равно $R_{1}$, ток будет увеличиваться, стремясь достичь $J_{1}=V / R_{1}$. Разность $I(t)-V / R_{1}$ будет экспоненциально затухать с характерным временем $L / R_{1}$. Фазовый переход происходит при достижении критического тока
$$I_{1}=\sqrt{\frac{\alpha\left(T_{c}-T_{0}\right)}{R_{1}}}.
$$ После фазового перехода ток будет уменьшаться, приближаясь к новому равновесному значению $J_{2}=V / R_{2}$. И снова $I(t)-V / R_{2}$ будет экспоненциально убывать с характерным временем $L / R_{2}$, пока не будет достигнут критический ток
$$
I_{2}=\sqrt{\frac{\alpha\left(T_{c}-T_{0}\right)}{R_{2}}}.
$$Такое поведение показано на рис. 1.

С учётом (3) мы видим, что температура ведет себя так, как показано на рисунке 2.

Максимальная и минимальная температуры будут достигнуты сразу после фазовых переходов. Получаем, что

(c)  ^2.00 Найдите период колебаний, если $V=\sqrt{V_{1} V_{2}}$ и $R_{2}=16 R_{1}$.

Период колебаний

Если фазовый переход происходит при $t=0$, при этом сопротивление изменяется от $R_{j^{\prime}}$ до $R_{j}$, то ток задается
\begin{equation*}
I(t)=\frac{V}{R_{j}}+\left(I_{j^{\prime}}-\frac{V}{R_{j}}\right)\mathrm{e}^{-R_{j} t / L} \tag{5}
\end{equation*}до следующего фазового перехода, когда $I\left(t_{j}\right)=I_{j}$. Следовательно, период равен
\begin{equation*}
t_{1}+t_{2}=\frac{L}{R_{1}} \ln \left(\frac{I_{2}-V / R_{1}}{I_{1}-V / R_{1}}\right)+\frac{L}{R_{2}} \ln \left(\frac{I_{1}-V / R_{2}}{I_{2}-V / R_{2}}\right)\tag{6}
\end{equation*}Подставляя соотношения $R_{2}=\eta R_{1}$ и $V=\sqrt{V_{1} V_{2}}=$ $\eta^{1 / 4} \sqrt{R_{1} \alpha\left(T_{c}-T_{0}\right)}$, получаем период