(a)  ^2.00 Найдите $\omega_{0}$ и направление $\vec{v}_{0}$, чтобы центр масс двигался с постоянной скоростью $\vec{v}=\vec{v}_{0}$?

Равномерное линейное перемещение

Силы Лоренца, действующие на заряды:

\begin{gathered}\vec{F}_{+}=q \vec{v}_{+} \times \vec{B}=q(\vec{v}+\vec{\omega} \times \vec{r}) \times \vec{B}, \\ \vec{F}_{-}=(-q) \vec{v}_{-} \times \vec{B}=(-q)(\vec{v}-\vec{\omega} \times \vec{r}) \times \vec{B},\end{gathered}

где $\vec{r}$ – радиус-вектор от центра масс до положения положительного заряда.

Согласно 1-ому закону Ньютона, центр масс $C$ диполя будет двигаться с постоянной скоростью при условии, что на него действует равнодействующая сила

\begin{equation*}
\vec{F}=\vec{F}_{+}+\vec{F}_{-}=q\left(\vec{v}_{+}-\vec{v}_{-}\right) \times \vec{B}, \tag{8}
\end{equation*}равная нулю. Поскольку $\vec{v}_{+}, \vec{v}_{-}$ и $\vec{B}$ перпендикулярны, требуется равенство $\vec{v}_{+}=\vec{v}_{-}$. Это означает, что диполь не вращается: $\omega=\omega_{0}=0$.

Поступательное движение, однако, возможно, если пара сил $\vec{F}_{+}, \vec{F}_{-}$ имеет нулевой момент относительно $C$:

\begin{align*} & \vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}_{+}-\vec{r} \times \vec{F}_{-}=2 q \vec{r} \times(\vec{v} \times \vec{B})= \\\ & \quad 2 q(\vec{v}(\vec{r} \cdot \vec{B})-\vec{B}(\vec{r} \cdot \vec{v}))=-2 q \vec{B}(\vec{r} \cdot \vec{v}) \tag{9} \end{align*}

Мы приходим к выводу, что скалярное произведение равно нулю только тогда, когда $\vec{v} \perp \vec{r}$, т.е. начальная скорость должна быть параллельна направлению $Y$.

(b)  ^3.00 Считая $\omega_{0}$ известным, найдите такую $\vec{v}_{0}$ (направление и величину), чтобы центр масс двигался по окружности. Найдите радиус окружности $R_{c}$ и координаты $x_{c}, y_{c}$ ее центра. Доказывать единственность решения не нужно.

Вращательное движение

Равнодействующая сила может быть рассчитана как:

\begin{align*}
\vec{F}= & \vec{F}_{+}+\vec{F}_{-}=2 q(\vec{\omega} \times \vec{r}) \times \vec{B}= \\
& -2 q(\vec{\omega}(\vec{B} \cdot \vec{r})-\vec{r}(\vec{B} \cdot \vec{\omega}))=2 q B \omega \vec{r}=B \omega \vec{p}, \tag{10}
\end{align*}

где $\vec{p}$ - дипольный момент $(|\vec{p}|=q d=2 q r$ и направление совпадает с $\vec{r}$ ).

Когда $C$ вращается по окружности, $\vec{F}$ действует как центростремительная сила, т.е. направлена к центру окружности. Поскольку $\vec{F} \| \vec{p}$, диполь всегда находится на одной линии с центром орбиты. Поэтому орбитальная угловая скорость $C$ равна угловой скорости вращения диполя вокруг $C$.

 

Величина орбитальной скорости составляет:

$$v_{0}=\left|\omega_{0}\right| R_{c}.$$

Из 2-ого закона Ньютона и с учетом того, что полная масса диполя равна $2 m$ :

$$\frac{2 m v_{0}^{2}}{R_{c}}=\frac{p B v_{0}}{R_{c}},$$

т.е. величина скорости составляет:

$$v_{0}=\frac{p B}{2 m}=\frac{q B d}{2 m},$$

а радиус орбиты составляет:

(c)  ^4.00 Пусть $\vec{v}_{0}=0$. Найдите минимальное значение $\omega_{0}=\omega_{\text {min }}$, необходимое для того, чтобы диполь поменял свою ориентацию во время движения.

Переворот диполя

В (10) мы показали, что равнодействующая сила:

$$
\vec{F}=2 q(\vec{\omega} \times \vec{r}) \times \vec{B}=(\vec{\omega} \times \vec{p}) \times \vec{B} .
$$

Поскольку дипольный момент $\vec{p}$ вращается с угловой скоростью $\vec{\omega}$, его производная по времени:

$$
\frac{d \vec{p}}{d t}=\vec{\omega} \times \vec{p} .
$$

Из 2-ого закона Ньютона:

$$
2 m \frac{d \vec{v}}{d t}=\vec{F}=\frac{d \vec{p}}{d t} \times \vec{B} .
$$

Интегрируя уравнение, мы получаем дополнительный закон сохранения в системе (сохранение так называемого «обобщенного импульса»):

$$
2 m \vec{v}-\vec{p} \times \vec{B}=\mathrm{const}
$$

Таким образом, если $\vec{p}$ изменил свое направление с $\vec{p}_{0}$ на $\vec{p}_{1}=-\vec{p}_{0}$, то скорость:

\begin{equation*}
\vec{v}_{1}=\vec{v}_{0}+\frac{\left(\vec{p}_{1}-\vec{p}_{0}\right) \times \vec{B}}{2 m}=-\frac{\vec{p}_{0} \times \vec{B}}{m} . \tag{11}
\end{equation*}

Поскольку магнитное поле не совершает работы над движущимися электрическими зарядами, кинетическая энергия диполя сохраняется:

$$
\frac{I}{2} \omega_{0}^{2}=\frac{I}{2} \omega_{1}^{2}+\frac{2 m}{2} v_{1}^{2},
$$

Здесь $I=2 \times m(d / 2)^{2}=m d^{2} / 2$ – момент инерции диполя относительно его центра масс. Поскольку $v_{1}$ не зависит от угловой скорости, $\omega_{0}$ минимальна, когда $\omega_{1}=0$. Наконец,

$$
\omega_{\min }=v_{1} \sqrt{\frac{2 m}{I}}=\frac{p_{0} B}{m} \sqrt{\frac{4}{d^{2}}}=\frac{2 q B}{m}
$$

В качестве альтернативы мы можем ввести $\theta$ как угол между дипольным моментом и осью $X\left(\theta_{0}=0\right)$ и переписать уравнения поступательного движения в координатах $\omega=\dot{\theta}$:

$$
\dot{v}_{x}=\dot{\theta} \frac{q B d}{2 m} \cos \theta, \quad \dot{v}_{y}=\dot{\theta} \frac{q B d}{2 m} \sin \theta .
$$

Интегрируя эти уравнения при нулевой начальной скорости, мы находим зависимость скорости от $\theta$:

$$
v_{x}=\frac{q B d}{2 m} \sin \theta, \quad v_{y}=\frac{q B d}{2 m}(1-\cos \theta) .
$$

Используя выражение (9) для момента, мы можем записать уравнение вращательного движения в виде:

\begin{gather*}
I \ddot{\theta}=\tau=-2 q B\left(r_{x} v_{x}+r_{y} v_{y}\right)=-\frac{q^{2} B^{2} d^{2}}{2 m} \sin \theta \\
\ddot{\theta}+\frac{q^{2} B^{2}}{m^{2}} \sin \theta=0 \tag{12}
\end{gather*}

Это уравнение математического маятника длиной $L$ в гравитационном поле $g=L(q B / m)^{2}$. Эквивалентным является вопрос – каков минимальный толчок $\dot{\theta}_{0}$, необходимый в нижнем положении для того, чтобы маятник достиг верхнего положения. Кинетическая энергия маятника $K=\frac{1}{2} m L^{2} \dot{\theta}_{0}^{2}$ перейдет в потенциальную энергию $U=2 m g L$, из чего находим:

Примечание. Из-за симметрии, вращение как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки с абсолютным значением $\left|\omega_{0}\right|$ будет работать.

(d)  ^1.00 Если диполь стартует с $\vec{v}_{0}=0$ и $\omega_{0}=\omega_{\text {min }}$, найденной в части (c), то траектория центра масс имеет асимптоту. Найдите расстояние $D$ от начала координат до асимптоты.

Асимптота траектории

Если траектория диполя имеет асимптоту, то его движение вдоль асимптоты равномерно. Действительно, если диполь $\vec{p}$ движется линейно с ускорением, то он должен быть всегда ориентирован по направлению движения, следовательно, не вращаться. И как мы выяснили в части (a), отсутствие вращения может сохраняться только в том случае, если $\vec{v}= \mathrm{const}$ и $\vec{v} \perp \vec{p}$.

Для равномерного линейного движения требуется $\omega=0$, и это происходит в пределе, когда ориентация меняется на противоположную $\vec{p}_{1}=-\vec{p}_{0}$. Согласно (11), в пределе диполь движется со скоростью $\vec{v}_{1}=p_{0} B \hat{\jmath} / m$. Таким образом, асимптота параллельна оси $\mathrm{Y}$: $x=D$ (для начального вращения против часовой стрелки).

Если $\vec{R}_{+}$ и $\vec{R}_{-}$ – абсолютные положения зарядов, то мы можем написать уравнение для углового момента вокруг начала координат $L_{O}$:

$$
\begin{aligned}
& \frac{d \vec{L}_{O}}{d t}=\vec{R}_{+} \times\left(q \dot{\vec{R}}_{+} \times \vec{B}\right)+\vec{R}_{-} \times\left(-q \dot{\vec{R}}_{-} \times \vec{B}\right)= \\
& -q \vec{B}\left(\vec{R}_{+} \cdot \dot{\vec{R}}_{+}-\vec{R}_{-} \cdot \dot{\vec{R}}_{-}\right)=-\frac{q \vec{B}}{2} \frac{d}{d t}\left(R_{+}^{2}-R_{-}^{2}\right) .
\end{aligned}
$$

После интегрирования мы находим еще один закон сохранения (сохранение «обобщенного углового момента»):

$$
\begin{gathered}
\vec{L}_{O}+\frac{q \vec{B}}{2}\left(R_{+}^{2}-R_{-}^{2}\right)=\vec{L}_{O}+\frac{q \vec{B}}{2}\left(\left(\vec{R}_{+}+\vec{R}_{-}\right) \cdot\left(\vec{R}_{+}-\vec{R}_{-}\right)\right) \\
=\vec{L}_{O}+\vec{B}(\vec{R} \cdot \vec{p})=\mathrm{const}
\end{gathered}
$$

где $\vec{R}=\frac{1}{2}\left(\vec{R}_{+}+\vec{R}_{-}\right)$ - положение центра масс. Мы также использовали тот факт, что $q\left(\vec{R}_{+}-\vec{R}_{-}\right)=2 q \vec{r}=\vec{p}$.

Изначально центр масс совпадает с началом координат ($\vec{R}_{0}=0$):

\begin{equation*}
L_{O}(0)=I \omega_{0}=2 m \frac{d^{2}}{4} 2 \frac{q B}{m}=q B d^{2} . \tag{13}
\end{equation*}

В асимптоте диполь имеет обратное направление $\vec{p}_{1}=-\vec{p}_{0}$ и заряды движутся вдоль параллельных линий $x=D \pm r$ со скоростью $\vec{v}_{1}$:

\begin{align*}
L_{O}(\infty)+ & B\left(\vec{R}_{1} \cdot \vec{p}_{1}\right)=m(D-r) v_{1}+m(D+r) v_{1}-B D p_{0} \\
& =2 m D \frac{p_{0} B}{m}-B D p_{0}=B D p_{0}=B D q d \tag{14}
\end{align*}

Поскольку (13) равно (14), делаем вывод, что $D=d$.

К этому же выводу можно прийти и по-другому. Обратите внимание, что нас интересует координата $x$ в точке $C$ на бесконечности:

$$
D=x_{\infty}=\int_{0}^{\infty} v_{x} d t=\frac{q B d}{2 m} \int_{0}^{\infty} \sin \theta d t
$$

Из (12) мы можем выразить $\sin \theta$ :

$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{\infty} \sin \theta d t= & -\frac{m^{2}}{q^{2} B^{2}} \int_{0}^{\infty} \ddot{\theta} d t= \\
& -\frac{m^{2}}{q^{2} B^{2}}\left(\dot{\theta}_{1}-\dot{\theta}_{0}\right)=\frac{m^{2}}{q^{2} B^{2}} \omega_{\min }=\frac{2 m}{q B}
\end{aligned}
$$

Получаем

Примечание. Если начальное вращение происходит по часовой стрелке ($\omega_{0}<0$), то асимптота имеет уравнение $x=-D$, но расстояние до начала координат остается прежним.