Определите амплитудное распределение на плоскости $S_{p}$. Каковы распределения амплитуды и освещенности на плоскости изображения $R'$? Определите вид и контрастность изображения. Возьмите в качестве определения контрастности выражение $$\Gamma=\frac{I_{макс}-I_{мин}}{I_{макс}}$$ Рассмотрите специальный случай, когда $e=\lambda/2, \lambda/4$ и величина $e$ мала.
Непосредственное наблюдение
1. Амплитудное распределение в спектрах
Если использовать выражение ($6'$) из задачи Отражательные решетки, то после нормировки и изменения начала отсчета фаз оно принимает вид $$F(u)=\frac{\sin \pi u a}{\pi u a} \frac{\sin 2 N \pi u a}{\sin 2 \pi u} \cos \left(\pi u a+\frac{2 \pi e}{\lambda}\right). \tag{1}$$ Так как $N \rightarrow \infty$, то спектры очень узки. Они разделены промежутком $$\Delta u=\frac{1}{p}=\frac{1}{2 a}. \tag{2}$$ Положения отдельных спектров совпадают с нулями функции $$\frac{\sin \pi и a}{\pi u a}, \quad где \quad u=\frac{1}{a}, \frac{2}{a}, \frac{3}{a} \ldots$$ Наконец, имеются лишь спектры порядков $0, \pm 1, \pm 3, \pm 5$ и т. д. Если принять $$\varphi=\frac{4 \pi e}{\lambda}, \tag{3}$$ то получаем для амплитуд этих спектров $$ \begin{aligned} F(0) & =\cos \frac{\varphi}{2}, \\ F\left( \pm \frac{1}{2 a}\right) & =\mp \frac{2}{\pi} \sin \frac{\varphi}{2} \\ F\left( \pm \frac{3}{2 a}\right) & =\mp \frac{1}{3} \frac{2}{\pi} \sin \frac{\varphi}{2}, \\ F\left( \pm \frac{5}{2 a}\right) & =\mp \frac{1}{5} \frac{2}{\pi} \sin \frac{\varphi}{2} \end{aligned} $$ или в более общем виде $F(u)=F\left( \pm \frac{K}{2 a}\right)\left\{\begin{array}{cl}K=0, & F(0)=\cos \frac{\varphi}{2}, \\ K-\text { нечетное число, } & F\left(\frac{K}{2 a}\right)= \pm \frac{1}{K} \frac{2}{\pi} \sin \frac{\varphi}{2}.\tag4\end{array}\right.$ Функция $F(u)$ показана на (рис. 6).
2. Амплитудное распределение в плоскости изображения
Это распределение точно такое же, как и в плоскости объекта, так как спектр пропускается целиком. Из обратного преобразования Фурье получаем $$f'(x)=f(x)=\mathcal{F} \left[F(u) \right]\tag{5}$$ Зная, что $$\delta\left(u-\frac{K}{2 a}\right) \xrightarrow{\mathcal{F}} e^{j 2 \pi(K/2a)x}=e^{j K \pi x /a}, \tag{6}$$ находим \begin{align*} & f'(x)=f(x)=\cos \frac{\varphi}{2}-\frac{2}{\pi} \sin \frac{\varphi}{2}\left[\left(e^{j \pi x / a}-e^{-j\pi x /a}\right)+\right. \\ & \left.\quad+\frac{1}{3}\left(e^{j 3 \pi x / a}-e^{-j 3 \pi x / a}\right)+\frac{1}{5}\left(e^{j 5 \pi x / a}-e^{-j 5 \pi x / a}\right)+\ldots\right] \tag{7}\\ & \begin{aligned} f'(x)=f(x)= & \cos \frac{\varphi}{2}-\frac{4 j}{\pi} \sin \frac{\varphi}{2}\left[\sin \pi \frac{x}{a}+\right. \\ & \left.\quad+\frac{1}{3} \sin 3 \pi \frac{x}{a}+\frac{1}{5} \sin 5 \pi \frac{x}{a}+\ldots\right] \end{aligned} \end{align*}
3. Распределение освещенности в плоскости изображения
\begin{align*}
I(x)=\left|f'(x)\right|^{2}= & |f(x)|^{2}=\cos ^{2} \frac{\varphi}{2}+\frac{16}{\pi^{2}} \sin ^{2} \frac{\varphi}{2} \\
& {\left[\sin \frac{\pi x}{a}+\frac{1}{3} \sin \frac{3 \pi x}{a}+\frac{1}{5} \sin \frac{5 \pi x}{a}+\ldots\right]^{2}.} \tag{9}
\end{align*}
Распределение освещенности в плоскости изображения показано на (рис. 8).
Так как периодическая функция в квадратных скобках осциллирует между $+\pi / 4$ и $-\pi / 4$ (рис. 7), находим
$$\begin{aligned}
I_{мaкc} & =\cos ^{2} \frac{\varphi}{2}+\sin ^{2} \frac{\varphi}{2}=1, \\
I_{мин} & =\cos ^{2} \frac{\varphi}{2}\end{aligned}$$
Таким образом,
$$\Gamma=\sin ^{2} \frac{\varphi}{2} \tag{10}$$
Специальные случаи
Равномерно освещенная плоскость изображения имеет равноотстоящие черные полосы с промежутком $a$ ( $\Gamma=1$ ). Рельеф решетки различить невозможно.
Высота штриха $e$ мала, сдвиг фазы $\varphi$ мал.
Изображение подобно прежнему, но имеет плохую контрастность.
Высоты прямоугольников $e$ малы, в результате чего производимый ими фазовый сдвиг очень мал.
В плоскости $S_{p}$ поместите фазовую пластинку, которая задерживает прямую волну на $\pi /2$. Сравните эти результаты с теми, которые даются в опыте, осуществляемом шлирен–методом.
Наблюдение фазовой контрастности
Дифрагированная волна имеет опережение на $\pi/2$.
Амплитуда нечетного спектра умножена на $e^{j \pi/2}=+j$.
Учитывая, что сдвиг фазы $\varphi$ мал, получаем
\begin{align*}
& F(u)=F\left(\frac{K}{2 a}\right) \times \\
& \times\left\{\begin{array}{cl}
K=0, & F(0)=\cos \frac{\varphi}{2}=1, \\
K-\text { нечетное число, } & F\left(\frac{K}{2 a}\right)=-j \frac{2}{K \pi} \sin \frac{\varphi}{2}=-\frac{j}{K \pi} \varphi .
\end{array}\right. \tag{11}
\end{align*}
Таким образом, амплитуда в плоскости изображения есть
$$f'(x)=\mathcal{F} \left[F(u)\right]=1+\frac{2 \varphi}{\pi}\left[\sin \frac{\pi x}{a}+\frac{1}{3} \sin \frac{3 \pi x}{a}+\ldots\right] \tag{12}$$
и интенсивность
$$I(x)=\left[f'(x)\right]^{2}=\left\{1+\frac{2 \varphi}{\pi}\left[\sin \frac{\pi x}{a}+\frac{1}{3} \sin \frac{3 \pi x}{a}+\ldots\right]\right\}^{2}.$$
Пренебрегая членами с показателем степени у $\varphi$ большими, чем 2 , можно записать
\begin{align*}
I(x) & =1+\frac{4}{\pi} \varphi\left[\sin \frac{\pi x}{a}+\frac{1}{3} \sin \frac{3 \pi x}{a}+\ldots\right], \tag{13}\\
I_{макс} & =1+\varphi, \quad I_{\text {мин }}=1-\varphi, \tag{14}\\
\Gamma & =\frac{2 \varphi}{1+\varphi}, \quad \text { следовательно, } \quad \Gamma=2 \varphi. \tag{15}
\end{align*}
Примечания
1. Мы преобразовали фазовые изменения в амплитудные, к которым чувствителен детектор. Рельеф решетки проявляется как изменения в освещенности, но изображение имеет плохую контрастность (пропорциональную сдвигу фазы $\varphi$ ) (рис. 9).
2. В случае шлирен-фотографии прямая волна получает сдвиг фазы. Тогда амплитуда в плоскости $R'$ равна $$f'(x)=+\frac{2}{\pi} \varphi\left[\sin \frac{\pi x}{a}+\sin \frac{3 \pi x}{a}+\ldots\right]. \tag{16}$$ Таким образом, \begin{align*} & I(x)=\frac{4}{\pi^{2}} \varphi^{2}\left[\sin \frac{\pi x}{a}+\sin \frac{3 \pi x}{a}+\ldots\right]^{2}, \tag{17}\\ & I_{макс}=\frac{\varphi^{2}}{4}, \quad I_{\text {мин }}=0 \rightarrow \Gamma=1.\tag{18} \end{align*} Образованное изображение имеет яркие полосы шириной $a$, разделенные тонкими темными линиями (рис. 10).
Чтобы повысить чувствительность метода фазовой контрастности, можно уменьшить амплитуду прямой волны до желаемой величины. Для этого добавим фазовую пластинку перед двоякопреломляющей пластинкой (рис. 3).
Переменная фазовая контрастность (прибор Кастлера–Монтарнала)
Уравнение $(11)$ дает амплитуду спектров после прохождения фазовой пластинки.
Поляризатор $P$ поляризует падающий свет.
Пластинка ${S}_{1}$ не изменяет ориентацию колебания, переносимого прямой волной.
Полуволновые пластинки $S_{2}$ и $S_{3}$ поворачивают плоскости колебаний нечетных спектров на $90^{\circ}$ (рис. 11).
Прямые и дифрагированные волны всегда находятся под прямым углом, и их колебания взаимно перпендикулярны: \begin{align*} &F(0)=1 \quad \begin{aligned} &\text {(колебание параллельно направлению $OP$}),\end{aligned}\\ &F\left(\frac{K}{2 a}\right)=-\frac{j}{K \pi} \varphi \begin{aligned} & \text { (колебание параллельно направлению $OP$}).\end{aligned}\tag{19}\end{align*} Анализатор пропускает только компоненты колебаний вдоль направления $OA$, так что \begin{align*} &F(0)=\sin \theta \quad \begin{aligned} & \text {(колебание параллельно направлению $OA$}),\end{aligned}\\ &F\left(\frac{K}{2 a}\right)=-\frac{j}{K \pi} \varphi \cos \theta d \begin{aligned} & \text { (колебание параллельно направлению $OA$}).\end{aligned}\tag{20}\end{align*} Возьмем преобразование Фурье для амплитудного распределения в плоскости $S_{p}$ $$f'(x)=\sin \theta+\frac{2 \varphi}{\pi} \cos \theta\left[\sin \frac{\pi x}{a}+\frac{1}{3} \sin \frac{3 \pi x}{a}+\ldots\right].\tag{21}$$ Отсюда в плоскости изображения $R'$ $$I(x)=\sin ^{2} \theta+\sin \theta \cos \theta \frac{4 \varphi}{\pi}\left[\sin \frac{\pi x}{a}+\frac{1}{3} \sin \frac{3 \pi x}{a}+\ldots\right].\tag{22}$$ Экстремальные значения интенсивности равны \begin{align*} & I_{1}=\sin \theta[\sin \theta+\varphi \cos \theta], \\ & I_{2}=\sin \theta[\sin \theta-\varphi \cos \theta].\tag{23} \end{align*}