A1  ^0.20 Выразите период крутильных колебаний $T_{0}$ через момент инерции $I_{0}$ и модуль кручения проволоки $k$.

Уравнение колебаний для такого маятника:\[M=-k\varphi=I_0\ddot\varphi=-I_0\omega^2\varphi.\]Отсюда\[T_0=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{I_0}{k}}.\]

A2  ^0.70 Измерьте как можно точнее период крутильных колебаний ротора $T_0$ и цилиндра $T_1$. Измерьте массу цилиндра $M$, его высоту $H$ и радиус $R$. Получите формулу для момента инерции ротора гироскопа и вычислите его.

Период крутильных колебаний ротора:\[30T_0 = (97.0 \pm 0.5) ~ с\implies T_0 = (3.23 \pm 0.02) ~с.\]Период крутильных колебаний цилиндра:\[30T_1 = (118.7 \pm 0.5) ~ с\implies T_1 = (3.96 \pm 0.02) ~с.\]Параметры цилиндра:\[M=(1617.2\pm0.1)~г,\qquad 2R=(78.3\pm0.1)~мм,\qquad H=(43.1\pm0.1)~мм.\]Момент инерции цилиндра\[I_1=MR^2/2.\]Поскольку\[\dfrac{k}{4\pi^2}=\dfrac{I_0}{T_0^2}=\dfrac{I_1}{T_1^2},\]то момент инерции гироскопа равен:

A3  ^0.20 Измерьте как можно точнее частоту вращения гироскопа $f_0$.

С помощью осциллографа в режиме XY определяем:

A4  ^0.50 Отклоните рычаг C на $5-6^\circ$ вверх от горизонтальной плоскости. Подвесьте к рычагу С один из грузов 4. При этом должна начаться прецессия гироскопа. Найдите угловую скорость регулярной прецессии $\Omega$. Измерения продолжайте до тех пор, пока рычаг С не сделает целое число оборотов относительно вертикальной оси. При этом он не должен опуститься ниже горизонтальной оси более чем на $5-6^\circ$. Повторите этот опыт не менее пяти раз. Усредните полученные результаты.

Расстояние от центра гироскопа до точки крепления грузов $l=(121\pm1)~мм$. Массы грузов приведены в отдельном столбце.

$T_{01},~с$	$T_{02},~с$	$T_{03},~с$	$T_{04},~с$	$T_{05},~с$	$\bar T_0,~с$	$\Omega,~10^{-3}~рад/с$	$m,~г$	$M,~10^{-3}~Н\cdot м$
183.40	185.10	184.90	184.20	183.90	184.30	34.07	56.4	6.753
176.10	176.40	175.40	175.70	175.90	175.90	35.70	59.1	7.073
136.90	137.90	136.60	136.60	137.0	137.0	45.83	75.9	9.088
112.70	111.80	112.40	111.00	112.10	112.0	56.07	92.8	11.106
73.60	73.50	73.60	74.30	74.00	73.80	85.09	140.8	16.851
60.60	60.50	60.70	60.30	60.40	60.50	103.80	173.1	20.76
49.40	48.20	48.70	48.30	48.40	48.60	129.21	214.4	25.659
38.50	38.30	38.60	39.10	39.00	38.70	162.22	268.4	32.122
30.80	30.40	31.20	30.90	30.70	30.80	203.89	337.4	40.380

A5  ^5.00 Проделайте всю серию экспериментов, описанных в пункте A4, при всех возможных значениях момента $M$ силы $F$ относительно центра масс гироскопа (длина плеча $l$ указана на установке). Постройте график зависимости $\Omega$ от $M$.

A6  ^0.50 Вычислите частоту вращения гироскопа $f_0$, используя результаты A2 и A5 . Сравните с результатами A3.

Угловой коэффициент этого графика $\mathrm{d}\Omega/\mathrm{d}M=(0.501\pm0.002)~{с}/{кг\cdot м^2}$. Частоту вращения гироскопа определяем по формуле:\[f_0=\dfrac{1}{2\pi I_0 \,\mathrm{d}\Omega/\mathrm{d}M} =(400\pm5)~Гц,\]что в пределах погрешности совпадает с результатами A3.

B1  ^2.50 Снимите зависимость угловой скорости гироскопа $\omega$ от времени в диапазоне $t\in[0,5~мин]$. Постройте график.

$t,~с$	$f,~Гц$	$t,~с$	$f,~Гц$	$t,~с$	$f,~Гц$	$t,~с$	$f,~Гц$
0	400.00	80	371.10	160	350.80	240	330.50
10	392.10	90	368.40	170	348.40	250	327.90
20	387.00	100	366.00	180	346.00	260	325.00
30	384.20	110	364.00	190	343.40	270	322.80
40	381.40	120	361.40	200	340.80	280	320.00
50	379.10	130	358.80	210	338.10	290	318.00
60	376.50	140	356.20	220	335.40	300	315.20
70	373.70	150	353.60	230	332.80

B2  ^0.40 Вычислите момент сил трения $M_{\mathrm{fr}}$, действующих на гироскоп.

Угловой коэффициент этого графика\[\dfrac{\mathrm df}{\mathrm dt}=-(0.26\pm0.01)~Гц/с.\]Найдём момент сил по формуле\[M_\mathrm{fr}=2\pi I_0\left|\mathrm d f/\mathrm dt\right|=(1.3\pm0.1)\cdot10^{-3}~Н\cdot м.\]