В присутствии постоянного однородного магнитного поля $\vec{B}$, поступательное движение системы электрических зарядов сочетается с ее вращательным движением. В результате законы сохранения полного импульса и проекции момента импульса на направление $\vec{B}$ имеют модифицированный вид. Это иллюстрируется в данной задаче путем рассмотрения движения электрического диполя, сделанного из двух частиц одинаковой массы и несущих заряды $q$ и $-q$ соответственно $(q>0)$. Эти частицы соединены между собой жестким изолирующим стержнем длины $l$, массой которого можно пренебречь. Пусть радиyc-вектор $\vec{r_1}$ обозначает положение частицы с зарядом $q, \vec{r_2}-$ второй частицы, тогда $\vec{l}=\vec{r_1}-\vec{r_2}$. Обозначьте $\vec{\omega}$ угловую скорость вращения относительно центра масс диполя. Обозначьте $\vec{r}_{C M}$ и $\vec{v}_{C M}$ положение и скорость {центра масс} соответственно.

Релятивистскими эффектами и электромагнитным излучением можно пренебречь.

Обратите внимание, что сила, с которой магнитное поле действует на частицу с зарядом $q$, движущуюся со скоростью $\vec{v}$, равна $q \left[\vec{v} \times \vec{B}\right]$, где компоненты векторного произведения $\left[\vec{A_1} \times \vec{A_2}\right]$ определяются в координатах $xyz$ как:
$$
\begin{aligned}
& \left[\vec{A_1} \times \vec{A_2}\right]_x=\vec{A_1}_y\vec{A_2}_z-\vec{A_1}_z\vec{A_2}_y \\
& \left[\vec{A_1} \times \vec{A_2}\right]_y=\vec{A_1}_z\vec{A_2}_x-\vec{A_1}_x\vec{A_2}_z \\
& \left[\vec{A_1} \times \vec{A_2}\right]_z=\vec{A_1}_x\vec{A_2}y-\vec{A_1}_y\vec{A_2}_x
\end{aligned}
$$
 

Часть A. Законы сохранения

A1 Запишите уравнения движения для центра масс диполя и для вращения относительно центра масс, вычислив равнодействующую сил и суммарный момент сил относительно центра масс, действующие на диполь.

A2 Из уравнения движения центра масс получите модифицированный вид закона сохранения импульса. Обозначьте соответствующую новую сохраняющуюся величину$~\vec{P}$. Запишите выражение для сохраненной энергии $E$ через $\vec{v}_{C M}$ и $\vec{\omega}$.

A3 Момент импульса состоит из двух частей. Одна часть возникает из-за движения центра масс, а другая из-за вращения относительно центра масс. Из модифицированной формы закона сохранения полного импульса и уравнения, описывающего вращение относительно центра масс, докажите, что величина $J$, определенная как $J=\left(\left[\vec{r}_{C M} \times \vec{P}\right]+I \vec{\omega}\right) \cdot \hat{B}~$ сохраняется.

Учтите, что
$$
\begin{gathered}
\left[\vec{A_1} \times \vec{A_2}\right]=-\left[\vec{A_2} \times \vec{A_1}\right] \\
\vec{A_1} \cdot\left[\vec{A_2} \times \vec{A_3}\right]=\left[\vec{A_1} \times \vec{A_2}\right] \cdot \vec{A_3} \\
\left[\vec{A_1} \times\left[\vec{A_2} \times \vec{A_3}\right]\right]=\left(\vec{A_1} \cdot \vec{A_3}\right) \vec{A_2}-\left(\vec{A_1} \cdot \vec{A_2}\right) \vec{A_3}
\end{gathered}
$$для любых трех векторов $\vec{A_1}$, $\vec{A_2}$ и $\vec{A_3}$. Повторное применение первых двух формул может пригодиться для вывода закона сохранения в задаче.

Далее, пусть $\vec{B}$ направлено вдоль оси $z$.

Часть B. Движение в плоскости, перпендикулярной $\vec{B}$

Предположим, изначально центр масс диполя покоится в начале координат, $\vec{l}$ сонаправлен с осью $x$ и начальная угловая скорость диполя $\omega_0 \hat{z}$ ($\hat{z}$ – единичный вектор, направленный вдоль оси $z$).
 

B1 Если величина $\omega_0$ меньше критического значения $\omega_{\mathrm{c}}$, диполь не совершит полного оборота относительно центра масс. Найдите $\omega_{\mathrm{c}}$.

B2 Для произвольного $\omega_0>0$, каково максимальное расстояние $d_m$, на которое может сместиться центр масс вдоль оси $x$?

B3 Какова сила натяжения стержня? Выразите ее как функцию угловой скорости $~\omega$.