A1  ^?? Запишите уравнения движения для центра масс диполя и для вращения относительно центра масс, вычислив равнодействующую сил и суммарный момент сил относительно центра масс, действующие на диполь.

Положение центра масс и относительные координаты:
\[
\vec{r}_{\text{CM}} = \frac{1}{2} \left( \vec{r}_1 + \vec{r}_2 \right), \quad
\vec{v}_{\text{CM}} = \frac{1}{2} \left( \vec{v}_1 + \vec{v}_2 \right), \quad
\vec{\ell} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2, \quad
\vec{u} = \dot{\vec{\ell}} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2
\]

Суммарная сила, действующая на диполь:
\[
\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = q \left( \vec{E} + \vec{v}_1 \times \vec{B} \right) + (-q) \left( \vec{E} + \vec{v}_2 \times \vec{B} \right) = q \left( \vec{v}_1 - \vec{v}_2 \right) \times \vec{B} = q \dot{\vec{\ell}} \times \vec{B}
\]

Уравнение движения центра масс (\( M = 2m \)):
\begin{equation}
M \dot{\vec{v}}_{\text{CM}} = q \dot{\vec{\ell}} \times \vec{B}
\tag{1}
\end{equation}

Момент сил относительно центра масс:
\begin{align}
I \dot{\vec{\omega}} &= \left( \frac{\vec{\ell}}{2} \right) \times \left( q \vec{v}_1 \times \vec{B} \right) + \left( -\frac{\vec{\ell}}{2} \right) \times \left( -q \vec{v}_2 \times \vec{B} \right) \\
&= q \dot{\vec{\ell}} \times \left( \vec{v}_{\text{CM}} \times \vec{B} \right)
\tag{2}
\end{align}

Момент инерции диполя:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} m \ell^2
\end{equation}

A2  ^?? Из уравнения движения центра масс получите модифицированный вид закона сохранения импульса. Обозначьте соответствующую новую сохраняющуюся величину$~\vec{P}$. Запишите выражение для сохраненной энергии $E$ через $\vec{v}_{C M}$ и $\vec{\omega}$.

Из уравнения (1) следует закон сохранения обобщённого импульса:
\begin{equation}
\dot{\vec{P}} = 0, \quad \vec{P} = M \vec{v}_{\text{CM}} - q \vec{\ell} \times \vec{B}\tag{3}
\end{equation}

Из уравнения (2) следует закон сохранения энергии:
\begin{equation}
\dot{E} = 0, \quad E = \frac{1}{2} M v_{\text{CM}}^2 + \frac{1}{2} I \omega^2\tag{4}
\end{equation}

A3  ^?? Момент импульса состоит из двух частей. Одна часть возникает из-за движения центра масс, а другая из-за вращения относительно центра масс. Из модифицированной формы закона сохранения полного импульса и уравнения, описывающего вращение относительно центра масс, докажите, что величина $J$, определенная как $J=\left(\left[\vec{r}_{C M} \times \vec{P}\right]+I \vec{\omega}\right) \cdot \hat{B}~$ сохраняется.

Используя уравнения (3) и (2), вычислим производную:
\begin{align*}
\frac{d}{dt} \left( \vec{r}_{\text{CM}} \times \vec{P} \right) \cdot \vec{B}
&= \left( \vec{v}_{\text{CM}} \times \vec{P} \right) \cdot \vec{B} \\
&= -q \left[ \vec{v}_{\text{CM}} \times \left( \vec{\ell} \times \vec{B} \right) \right] \cdot \vec{B} \\
&= q \left[ \left( \vec{\ell} \times \vec{B} \right) \times \vec{v}_{\text{CM}} \right] \cdot \vec{B} \\
&= q \left( \vec{\ell} \times \vec{B} \right) \cdot \left( \vec{v}_{\text{CM}} \times \vec{B} \right) \\
&= q \dot{\vec{\ell}} \cdot \left[ \vec{B} \times \left( \vec{v}_{\text{CM}} \times \vec{B} \right) \right] \\
&= -q \dot{\vec{\ell}} \cdot \left[ \left( \vec{v}_{\text{CM}} \times \vec{B} \right) \times \vec{B} \right] \\
&= -q \left[ \dot{\vec{\ell}} \times \left( \vec{v}_{\text{CM}} \times \vec{B} \right) \right] \cdot \vec{B} \\
&= -I \dot{\vec{\omega}} \cdot \vec{B}
\end{align*}
Полученное выражение перпендикулярно $\vec B$, отсюда $\dot J=0$ и $J=\operatorname{const}$.

B1  ^?? Если величина $\omega_0$ меньше критического значения $\omega_{\mathrm{c}}$, диполь не совершит полного оборота относительно центра масс. Найдите $\omega_{\mathrm{c}}$.

Положение диполя задаётся углом $\varphi(t)$:
\begin{equation}
{\ell} = \ell \left[ \cos\varphi(t) \hat{{x}} + \sin\varphi(t) \hat{{y}} \right],
\end{equation}
Начальные условия:
\begin{equation}
\varphi(0) = 0, \quad
\dot{\varphi}(0) = \omega_0
\end{equation}

Угловая скорость вращения:
\begin{equation}
{\omega} = \dot{\varphi} \hat{{z}}
\end{equation}

Из закона сохранения обобщённого импульса (уравнение (3)):
\begin{equation}
M \dot{{r}}_{\text{CM}} = {P} + q \ell B \left( \sin\varphi \hat{{x}} - \cos\varphi \hat{{y}} \right)\tag{5}
\end{equation}

Начальные условия ($t=0$):
\[
\dot{{r}}_{\text{CM}}(0) = 0, \quad \varphi(0) = 0
\]
Подстановка в (5):
\begin{equation}
{P} = q \ell B \hat{{y}}
\end{equation}

Компоненты скорости центра масс:
\begin{align}
\dot{x}_{\text{CM}} &= \left( \frac{q \ell B}{M} \right) \sin\varphi \\
\dot{y}_{\text{CM}} &= \left( \frac{q \ell B}{M} \right) (1 - \cos\varphi)
\end{align}

Закон сохранения энергии (уравнение (4)):
\[
\frac{1}{2} M v_{\text{CM}}^2 + \frac{1}{2} I \dot{\varphi}^2 = \frac{1}{2} I \omega_0^2
\]
Выразим $v_{\text{CM}}^2$ через компоненты:
\[
v_{\text{CM}}^2 = \dot{x}_{\text{CM}}^2 + \dot{y}_{\text{CM}}^2 = \left( \frac{q \ell B}{M} \right)^2 \left( \sin^2\varphi + (1 - \cos\varphi)^2 \right)
\]
Упростим выражение в скобках:
\[
\sin^2\varphi + (1 - 2\cos\varphi + \cos^2\varphi) = 2 - 2\cos\varphi
\]
Подставим в уравнение энергии:
\begin{align*}
\frac{1}{2} M \left( \frac{q \ell B}{M} \right)^2 (2 - 2\cos\varphi) + \frac{1}{2} I \dot{\varphi}^2 &= \frac{1}{2} I \omega_0^2 \\
\frac{(q \ell B)^2}{M} (1 - \cos\varphi) + \frac{1}{2} I \dot{\varphi}^2 &= \frac{1}{2} I \omega_0^2
\end{align*}
Умножим обе части на $2/I$:
\begin{equation}
\dot{\varphi}^2 + \frac{2(q \ell B)^2}{M I} (1 - \cos\varphi) = \omega_0^2\tag{6}
\end{equation}

Введём характеристическую частоту:
\begin{equation}
\omega_e^2 = \frac{4(q \ell B)^2}{M I} = \left( \frac{2qB}{m} \right)^2
\end{equation}
Уравнение (6) принимает вид:
\begin{equation}
\dot{\varphi}^2 + \frac{1}{2} \omega_e^2 (1 - \cos\varphi) = \omega_0^2

\end{equation}
Условие полного оборота ($\varphi$ изменяется на $2\pi$):
$\dot{\varphi}$ не должно обращаться в ноль, поэтому:
\[
\omega_0^2 > \omega_e^2
\]

B2  ^?? Для произвольного $\omega_0>0$, каково максимальное расстояние $d_m$, на которое может сместиться центр масс вдоль оси $x$?

Из уравнения (6) имеем закон сохранения проекции момента импульса вдоль оси, сонаправленной с $\vec {B}$:
\begin{equation}
\dot{{J}} = 0, \quad {J} = ({r}_{\text{CM}} \times {P} + I {\omega}) \cdot \hat{{B}}
\end{equation}
В скалярной форме:
\begin{equation}
x_{\text{CM}} P + I \omega = J\tag{7}
\end{equation}
где $P = |{P}|$ - величина обобщённого импульса.

При $t = 0$ $~$($x_{\text{CM}} = 0$, $\omega = \omega_0$):
\begin{equation}
J = I \omega_0\tag{8}
\end{equation}
Подставляя (8) в (7), имеем:
\begin{equation}
x_{\text{CM}} P + I \omega = I \omega_0
\end{equation}

Из закона сохранения энергии следует $\omega_0^2 \geq \omega^2$, поэтому $x_{\text{CM}} \geq 0$. 
Максимальное смещение $d_m$ достигается при минимальном значении $\omega$.

Случай $\omega_0 < \omega_e$:
Минимальное значение $\omega = -\omega_0$. Подставляем в (7):
\begin{align}
x_{\text{CM}} P + I (-\omega_0) &= I \omega_0 \\
x_{\text{CM}} P &= 2I \omega_0 \\
d_m &= \frac{2I \omega_0}{P} = \left( \frac{m \omega_0}{q B} \right) \ell
\end{align}

Случай $\omega_0 > \omega_e$:
Минимальное значение $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \omega_e^2}$. Подставляем в (7):
\begin{align}
x_{\text{CM}} P + I \sqrt{\omega_0^2 - \omega_e^2} &= I \omega_0 \\
x_{\text{CM}} P &= I \left( \omega_0 - \sqrt{\omega_0^2 - \omega_e^2} \right) \\
d_m &= \frac{I}{P} \left( \omega_0 - \sqrt{\omega_0^2 - \omega_e^2} \right) = \frac{m}{2qB} \left( \omega_0 - \sqrt{\omega_0^2 - \omega_e^2} \right) \ell
\end{align}

Случай $\omega_0 = \omega_e$:
Из закона сохранения энергии:
\begin{equation}
\omega^2 = \frac{1}{2} \omega_e^2 (1 + \cos\varphi) = \omega_e^2 \cos^2 \frac{\varphi}{2}
\end{equation}
Тогда:
\begin{equation}
\dot{\varphi} = \omega_e \cos \frac{\varphi}{2}\tag{9}
\end{equation}

При $\varphi \approx \pi$ введём $\varphi = \pi - 2\varepsilon$ ($\varepsilon \ll 1$):
\begin{align}
\dot{\varphi} &= -2\dot{\varepsilon} \\
\cos \frac{\varphi}{2} &= \cos \left( \frac{\pi}{2} - \varepsilon \right) = \sin\varepsilon \approx \varepsilon
\end{align}
Подставляем в (\ref{eq:phi_dot}):
\begin{equation}
-2\dot{\varepsilon} = \omega_e \varepsilon
\end{equation}
Решение:
\begin{equation}
\varepsilon \sim e^{-\frac{\omega_e}{2} t}
\end{equation}
При $t \to \infty$ имеем $\varepsilon \to 0$, $\varphi \to \pi$. Максимальное смещение:
\begin{equation}
d_m = \frac{I}{P} \omega_e = \left( \frac{m \omega_e}{2q B} \right) \ell
\end{equation}

B3  ^?? Какова сила натяжения стержня? Выразите ее как функцию угловой скорости $~\omega$.

 

Будем считать, что сила сжатия стержня положительна.

Сила электростатического притяжения:

\[ F_e= \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{q^{2}}{\ell^2}\]

Центробежная сила, обусловленная вращением стержня:

\[ F_c = \dfrac{1}{2} m \omega^{2}\ell\]

Магнитная сила, действующая на частицы, вызванная движением центра масс: 

\[ F_m= q\left(\vec v_{CM}\times\vec B\right)\cdot(-\hat\ell)=q\vec v_{CM}\cdot\left(\hat\ell\times\vec B\right)\]

Возведение в квадрат обеих частей уравнения (3) и подстановка значения обобщенного импульса $P$ даёт:

\[ \dfrac{1}{2} Mv^{2}_{CM}= q\ell\vec v_{CM}\cdot\left(\hat\ell\times\vec B\right)=\dfrac{1}{2}I(\omega_0^2-\omega^2)\] 

Складывая три силы, получаем:

\[T = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{q^{2}}{\ell^2} + \dfrac{1}{4} m\ell( \omega_0^{2}-3\omega^2)\]