$a,~мм$ $b,~мм$ $f,~мм$ 210 828 167.5 225 694 169.9 235 620 170.4 252 528 170.5 280 429 169.4
При приближении диафрагмы к источнику яркость изображения увеличивается, при отдалении диафрагмы от источника, его яркость уменьшается.
$d,~мм$ $m1',~мм$ $m2',~мм$ $1/d,~м^{-1}$ $m',~мм$ 50 88 88 20.0$±$0.80 88 75 88 88 13.3$±$0.36 88 100 88 88 10.0$±$0.20 88 125 88 88 8.00$±$0.13 88 143 85 85 6.99$±$0.10 85 160 64 64 6.25$±$0.08 64 182 55 55 5.49$±$0.06 55 204 49 49 4.90$±$0.05 49 226 43 43 4.42$±$0.04 43 244 40 40 4.10$±$0.03 40 262 35 35 3.82$±$0.03 35 287 32 32 3.48$±$0.02 32 321 28 28 3.12$±$0.02 28 350 27 27 2.86$±$0.02 27 $\pm$2 $\pm$1 $\pm$1 $\pm$1
Выделим пунктиром плоскость на расстоянии $b$ от источника, которая фокусируется линзой на экран. Очевидно, что из этой плоскости до экрана дойдут только лучи ограниченные пунктиром. Тогда мы можем рассматривать изображение размером $m'$ на экране, как изображение отрезка длины $l$ в указанной плоскости.
$$l = \frac{m}{d}\cdot b$$Тогда размер изображения на экране:
$$m' = l \cdot \frac{h-a_0-f}{a_0+f-b}$$Формула тонкой линзы:
$$\frac{1}{f} = \frac{1}{a_0+f-b} + \frac{1}{h-a_0-f}$$Откуда:
$$a_0+f-b = f\cdot \frac{h-a_0-f}{h-a_0-2f}$$Исключая $b$ получаем:
$$m'=-\frac{m}{fd}(h-a_0-2f)\cdot( f\cdot \frac{h-a_0-f}{h-a_0-2f}-a_0-f)$$$$m'=\frac{m}{fd}\cdot(a_0(h-a_0-2f)- f^2)$$Подставим $h-a_0$ из формулы тонкой линзы:
$$h-a_0 = \dfrac{a_0f}{a_0-f}$$$$m' = \frac{m}{d}\cdot\left(\frac{a_0}{a_0-f}(2f - a_0) - f\right) = \frac{m}{d}\cdot\left(\frac{a_0f}{a_0-f}-(a_0+f)\right)$$Линеаризация:
$$m'(1/d)$$Точки которые лежат на плато — диафрагирование линзой, их наносить на график не будем, т.к. они не нужны для вычисления коэффициента наклона.
Из полученного графика поучаем коэффициент наклона прямой:
$$k_1 = (1.21\pm0.06) \cdot 10^{-2}~\text{м}^2$$
Выразим $m$ ч:
$$m=\frac{k_1}{\frac{a_0f}{a_0-f}-(a_0+f)}$$
Итого:
$$m = 21~мм$$
$$\Delta m = 3~мм$$
Комментарий к картинкам.
$$a_1 = 295~мм$$
$d_2,~мм$ $v_2,~мм$ $1/d_2~м^{-1}$ 132 20 7.58$±$0.11 155 20 6.45$±$0.08 175 18.5 5.71$±$0.07 192 16.5 5.21$±$0.05 203 16 4.93$±$0.05 215 15 4.65$±$0.04 227 14 4.41$±$0.04 245 13.5 4.08$±$0.03 265 13 3.77$±$0.03 $±$2 $±$0.5
$$a_2 = 382~мм$$
$d_1,~мм$ $v_1,~мм$ $1/d_1,~м^{-1}$ 22 63 45.4$±$4.13 41 63 24.3$±$1.19 53 63 18.8$±$0.71 68 63 14.7$±$0.43 73 59 13.7$±$0.38 88 49 11.3$±$0.26 97 43 10.3$±$0.21 106 39 9.43$±$0.18 114 34 8.77$±$0.15 128 28 7.81$±$0.12 $±$2 $±$2
Из рисунка видно, что при малых $d_2$ изображение будет выглядеть как распределение интенсивности света в сечении $D_1$, и не будет меняться при измении $d_2$, до какого-то определенного значения ($d_2 = d_2'$).
Начиная с $d_2'$ часть лучей проходящих диафрагму $D_1$ не будут проходить диафрагму $D_2$. Этот момент наступает тогда, когда угловые размеры диафрагм одинаковы. Тогда:
$$d_2' = \frac{p_2}{p_1} \cdot d_1.$$
Теперь найдем $l_2$. Аналогично пункту B3 можем рассмотреть отрезок $l$ в плоскости $D_1$ ограниченный крайнии лучами проходящими через диафрагму $D_2$ (или $D_1$, если $d_2<d_2'$).
$$l_2 = \frac{h-a}{a-d_1} \cdot l,$$
где:
$$ l = \begin{cases} p_1,& при ~d_2 < d_2'\\ \frac{d_1}{d_2} \cdot p_2,& при~ d_2 > d_2'\\ \end{cases}$$
Записав уравнения аналогичные С4 получаем ответ:
Используя результат предыдущего пункта для пункта $С2$ можно сопоставить
$$
\begin{cases}
p_1 = c\\
p_2 = n\sqrt{2}\\
l_2 = v_2\\
a = a_1
\end{cases}$$тогда получаем:
Для С3:
$$\begin{cases}
p_1 = c\sqrt{2}\\
p_2 = m\\
l_1 = v_1\\
a = a_2
\end{cases}$$
Итого получаем:
Линеаризация — $v_2(1/d_2)$.
Из графика находим коэффиуиент наклона, размер изображения на плато, и точку излома:
$$k_2 = 2.78 \cdot 10^{-3}~м^2\\v_{2}' = 20~мм\\d_{2}' = 156~мм$$
Линеаризация — $v_1(1/d_1)$
Из графика находим коэффиуиент наклона, размер изображения на плато, и точку излома:
$$k_3 = 4.99 \cdot 10^{-3}~м^2\\v_{1}' = 63~мм\\d_{1}' =69~мм$$