Для выполнения пункта необходимо внимательно окинуть взглядом всё рабочее место. При достаточно внимательном окидывании велика вероятность обнаружить на столе пакет с электронными компонентами, на который нанесён индивидуальный код в формате «$OOO~00~00$».

После обнаружения пакета внимательно переписываем с помощью ручки весь код целиком в специально отведённое место в листе ответов (это место легко идентифицировать по надписи «A0» слева). На этом этапе требуется быть предельно сосредоточенным, иначе это может привести к ошибкам. Наиболее распространёнными ошибками являются:

• переписывание только 4 последних символов («$00~00$»);
• переписывание символов в неправильном порядке («$00~00~OOO$»);
• ошибки в написании символов («$OOO~oo~oo$»);
• добавление лишних символов («$00~00~(OOO)$»);
• отсутствие кода в листе ответов.

Следующим шагом выполнения пункта является проверка комплектности пакета. Порядок проверки следующий:

1. Открыть пакетик.
2. Аккуратно высыпать все компоненты из пакета.
3. Убедиться, что пакетик действительно пуст.
4. Ознакомиться со списком оборудования из условия (при достаточной вкрадчивости при прочтении условия задачи его можно обнаружить по надписи Оборудование).
5. Проверить наличие кварцевого резонатора в высыпанных элементах (выглядит как серая коробочка с ножками).
6. Ознакомиться с таблицей маркировки конденсаторов, представленной после фото оборудования в условии.
7. Внимание! Требуется по порядку сравнить наличие конденсаторов в таблице (см. пункт 3) и на столе, высыпанных из пакета в пункте 1 (см. пункт 1).
8. Если отображение между наименованиями в таблице и конденсаторами на столе взаимооднозначно, то можно приступать к следующему пункту. Иначе следует обратиться к дежурному.

Введем обозначения для напряжений, которые мы измеряем на осциллогорафе:
\[U_0 \equiv U_{\text{CH}1};\quad U_1\equiv U_{\text{CH}2}.\]
Запишем уравнения на амплитуды и фазы для двух каналов осциллографа:

\[\tilde U_{\text{CH}1}= \tilde I(R_0 + Z);\]

\[\tilde  U_{\text{CH}2} = \tilde I Z.\]
Разделим уравнения и получим:
\[\dfrac{U_{\text{CH}2}}{U_{\text{CH}1}} e^{i\varphi}= \dfrac{Z}{R_0+Z}.\]
Теперь можно получить выражение для импеданса кварцевого резонатора:
\[Z = U_{\text{CH}2}R_0\cdot\dfrac{e^{i\varphi}}{U_{\text{CH}1}-U_{\text{CH}2}e^{i\varphi}}\]
Значит модуль импеданса можно пересчитать по следующей формуле:
\[|Z| = \dfrac{U_{\text{CH}2}R_0}{\sqrt{(U_{\text{CH}1}-U_{\text{CH}2}\cos\varphi)^2+(U_{\text{CH}2}\sin\varphi)^2}}\]
Выполним пересчет (см. решение A3) и построим график зависимости. 

\[f_0=1.999000~МГц\]

Ответ:

Импеданс параллельного соединения конденсатора $C_0$ и $RLC$–цепочки:
\[\dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R+i\omega L + \frac{1}{i\omega C}} + i\omega C_0 \]Упростим выражение:
\[\dfrac{1}{Z} = \dfrac{1+i\omega C_0 \left(R+i\omega L + \frac{1}{i\omega C}\right)}{R+i\omega L + \frac{1}{i\omega C}}\]\[Z(\omega) = \dfrac{\frac{1}{LC}-\omega^2 + i\omega \frac{R}{L}}{i\omega C_0 \left(\frac{1}{LC_0}+\frac{1}{LC}-\omega^2 +i\omega\frac{R}{L}\right)}\]

Воспользуемся тем, что для любых двух комплексных чисел $z_1, z_2$ выполняется $\left| \frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$:

\[\dfrac{\mathrm{d}|Z|^2}{\mathrm{d}\omega^2} = \dfrac{2}{(\omega_p C_0)^2}\cdot\dfrac{-(\omega_s^2-\omega^2)((\omega_p^2 - \omega^2)^2 + (\omega_p \alpha)^2) + (\omega_p^2-\omega^2)((\omega_s^2 - \omega^2)^2 + (\omega_p \alpha)^2)}{((\omega_p^2 - \omega^2)^2 + (\omega_p \alpha)^2)^2}\]\[\dfrac{\mathrm{d}|Z|^2}{\mathrm{d}\omega^2} = \dfrac{2}{(\omega_p C_0)^2 } \dfrac{(\omega_p^2 - \omega_s^2)((\omega_p \alpha)^2-(\omega_p^2 - \omega^2)(\omega_s^2 - \omega^2)) }{((\omega_p^2 - \omega^2)^2 + (\omega_p \alpha)^2)^2}\]\[\dfrac{\mathrm{d}|Z|}{\mathrm{d}\omega} = \dfrac{2|Z|}{\omega(\omega_p C_0)^2 } \dfrac{(\omega_p^2 - \omega_s^2)((\omega_p \alpha)^2-(\omega_p^2 - \omega^2)(\omega_s^2 - \omega^2)) }{((\omega_p^2 - \omega^2)^2 + (\omega_p \alpha)^2)^2}\]Найдем частоты, при которых производная $|Z|$ обнуляется:
\[(\omega_p \alpha)^2-(\omega_p^2 - \omega^2)(\omega_s^2 - \omega^2) = 0\]\[-\omega^4 + \omega^2 (\omega_p^2+\omega_s^2) + (\omega_p\alpha )^2-(\omega_p\omega_s)^2=0.\]Решение квадратного уравнения:
\[\omega = \sqrt{\dfrac{(\omega_s^2+\omega_p^2)\pm \sqrt{(\omega_s^2+\omega_p^2)^2+4\omega_p^2 (\alpha^2 - \omega_s^2)} }{2}}\]Используя приближение $\alpha\ll\omega_s$, получим частоты при которых производная $|Z|$ обнуляется: $\omega = \omega_s$ и $\omega =\omega_p$.

Примечание. В пункте A12 покажем справедливость данного пренебрежения для данного кварцевого резонатора.

Теперь определим в какой из двух точек резонанс, а в какой антирезонанс:
\[|Z|^2 (\omega_p) = \dfrac{1}{(\omega_p C_0)^2}\cdot\dfrac{(\omega_s^2 - \omega_p^2)^2 + (\omega_p \alpha)^2}{ (\omega_p \alpha)^2}\]\[|Z|^2 (\omega_s) = \dfrac{1}{(\omega_p C_0)^2}\cdot\dfrac{ (\omega_p \alpha)^2}{(\omega_s^2 - \omega_p^2)^2 + (\omega_p \alpha)^2}\]Теперь видно, что при $\omega = \omega_s$ будет антирезонанс, а при $\omega = \omega_p$ — резонанс.

Запишем выражение для резонансной частоты кварцевого резонатор при параллельном подключении $C_{\text{ext}}$:
\[\omega_p(C_{\text{ext}}) = \sqrt{\dfrac{1}{LC}\left(1+\dfrac{C}{C_0+C_{\text{ext}}}\right)} = \omega_s\sqrt{1+\dfrac{C}{C_0+C_{\text{ext}}}}\]Тогда после преобразования можно получить линеаризацию:
\[C_{{ext}} = \dfrac{f_{анти}^2 C}{f_{рез}^2 - f_{анти}^2} - C_0\]

Ответ:

Из линеаризованного графика в A10 получим угловой коэффициент и свободный член, которые равны: 
\[C = 5.3 ~фФ;\]
\[C_0 = 53.9~пФ.\]

Теперь, зная значение $f_{анти} = 1.999740~МГц$, можно получить значение $L$:

\[L = \dfrac{1}{4 \pi^2 f_\text{анти}^2 \cdot C}= 1.20~Гн.\]

Получим сначала ответ с приближением $\dfrac{4 \omega_p^2 \alpha^2}{(\omega_p^2-\omega_s^2)^2} \ll 1,$ которое следует из условия, просто выразив $\alpha$ из формулы, полученной в пункте A8.
В этом случае $\alpha = 164.4~\dfrac{\text{Ом}}{\text{Гн}}$.

Примечание. Найти $R$ можно и без приближения из условия (это не требовалось от участников). В пункте A6 мы получили, что $\alpha = \dfrac{R}{L},$ осталось определить $\alpha.$ Определить его проще всего по резонансу $Z.$ Как уже было найдено:
\[\omega = \sqrt{\dfrac{(\omega_s^2+\omega_p^2)\pm \sqrt{(\omega_s^2+\omega_p^2)^2+4\omega_p^2 (\alpha^2 - \omega_s^2)} }{2}}\] 
для экстремумов $|Z|$. 
Подставим их в выражение для $|Z|^2:$
$$|Z|_\text{крит}^2 = \dfrac{\left(\omega_s^2 - \dfrac{(\omega_s^2+\omega_p^2)\pm \sqrt{(\omega_s^2+\omega_p^2)^2+4\omega_p^2 (\alpha^2 - \omega_s^2)} }{2}\right)^2 + \left(\omega_p \alpha \right)^2}{(\omega_p C_0)^2 \left( \left(\omega_p^2 - \dfrac{(\omega_s^2+\omega_p^2)\pm \sqrt{(\omega_s^2+\omega_p^2)^2+4\omega_p^2 (\alpha^2 - \omega_s^2)} }{2} \right)^2 + \left(\omega_p \alpha \right)^2 \right)},$$
здесь знаку $+$ соответствует $|Z|_\text{max}^2,$ знаку $-$ соответствует $|Z|_\text{min}^2.$
Преобразуем данное выражение:
$$|Z|_\text{крит}^2 = \dfrac{ \left( \omega_p^2-\omega_s^2 \pm \sqrt{(\omega_p^2-\omega_s^2)^2+4 \omega_p^2 \alpha^2)}\right)^2+4 \omega_p^2 \alpha^2}{\left( \omega_p^2-\omega_s^2 \mp \sqrt{(\omega_p^2-\omega_s^2)^2+4 \omega_p^2 \alpha^2)}\right)^2+4 \omega_p^2 \alpha^2} \cdot \dfrac{1}{\omega_p^2 C_0^2},$$
$$|Z|_\text{крит}^2 = \dfrac{ \left( 1 \pm \sqrt{1+\dfrac{4 \omega_p^2 \alpha^2}{(\omega_p^2-\omega_s^2)^2})}\right)^2+\dfrac{4 \omega_p^2 \alpha^2}{(\omega_p^2-\omega_s^2)^2}}{\left( 1 \mp \sqrt{1+\dfrac{4 \omega_p^2 \alpha^2}{(\omega_p^2-\omega_s^2)^2})}\right)^2+\dfrac{4 \omega_p^2 \alpha^2}{(\omega_p^2-\omega_s^2)^2}} \cdot \dfrac{1}{\omega_p^2 C_0^2}.$$
Введём обозначение $y = \dfrac{4 \omega_p^2 \alpha^2}{(\omega_p^2-\omega_s^2)^2}:$
$$|Z|_\text{крит}^2 = \dfrac{ \left( 1 \pm \sqrt{1+y}\right)^2+y}{\left( 1 \mp \sqrt{1+y}\right)^2+y} \cdot \dfrac{1}{\omega_p^2 C_0^2}.$$
Определяем $|Z|_{\max}$ мы гораздо точнее, чем $|Z|_{\min}$, поэтому по $|Z|_\text{max} \approx 12500~\text{Ом},$ найденное по графику в пункте A4 найдём $y$:
$$|Z|_\text{max}^2 \cdot \omega_p^2 \cdot C_0^2 = 71.67 = \dfrac{ \left( \sqrt{1+y}+1\right)^2+y}{\left( \sqrt{1+y}-1\right)^2+y}.$$
Решим данное уравнение при помощи численных методов (метод итераций, таблицы в калькуляторе или любой другой рабочий метод):
$$y = 0.05740 \Rightarrow \alpha = 165.6~\dfrac{Ом}{Гн} \Rightarrow R  = L \cdot \alpha = 199~Ом,$$ 
что довольно близко к приближённому ответу, полученному выше, то есть приближение из условия для данного кварцевого резонатора корректно.