Трансформатор – это электромагнитное устройство, имеющее две или более индуктивно связанные обмотки. Он предназначен для преобразования системы переменного тока с одними параметрами в систему переменного тока с другими параметрами. Чаще всего трансформируются напряжение и ток, при этом частота сигнала не изменяется.

Во всех пунктах задачи вы можете использовать $\mu_0$ для выражения формульных ответов там, где это необходимо. Для вычислений используйте $\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}~Гн/м$.

Единичные векторы вдоль направлений обозначаются буквой с $\wedge$. К примеру, единичный вектор вдоль оси $x$ обозначается $\hat x$.

Все численные ответы приводите в единицах СИ.

Часть A. Однофазный трансформатор (3.6 балла)

Простейший трансформатор состоит из ферромагнитного сердечника и намотанных на него двух обмоток с количеством витков $N_1$ и $N_2$. Омическим сопротивлением обмоток всюду, кроме части C, можно пренебречь. Магнитная проницаемость сердечника $\mu\gg 1$, благодаря чему между обмотками трансформатора обеспечивается полная магнитная связь – то есть можно считать, что поток магнитного поля $\Phi$ внутри сердечника не рассеивается.

Примечания

• За положительное направление магнитного потока в обмотке примите направление потока, которое создавал бы ток, текущий в этой обмотке по указанным на рисунке направлениям тока.
• За положительное направление магнитного потока через сечение сердечника примите направление потока, обозначенное на рисунке буквой $\Phi$.
• Положительное направление тока указано на рисунке.
• Напряжение на обмотках равно разности потенциала верхней точки и потенциала нижней точки на рисунке.
• Коэффициент взаимной индукции обмоток $i$ и $j$ определяется как\[M=\dfrac{\partial \Phi_j}{\partial I_i},\]где $\Phi_j$ – поток через обмотку $j$, а $I_i$ – ток в обмотке $i$.

В пунктах A1−A3 найдём индуктивности обмоток $L_1$, $L_2$ и их коэффициент взаимной индукции $M$.

A1  ^0.20 Чему равны потоки магнитного поля через первичную и вторичную обмотки $\Phi_1$ и $\Phi_2$? Ответы выразите через $\Phi$, $N_1$ и $N_2$.

Для упрощения вычислений считайте, что площадь сечения сердечника $S$ постоянна. Длина сердечника равна $\ell\gg\sqrt{S}$.

A2  ^0.20 С помощью теоремы о циркуляции для вектора напряжённости магнитного поля $\vec H$ найдите поток магнитного поля $\Phi$ в сердечнике. Ответ выразите через $S$, $\ell$, $\mu$, $I_1$, $I_2$, $N_1$ и $N_2$.

A3  ^0.30 Получите выражения для индуктивностей обмоток $L_1$, $L_2$ и их коэффициента взаимной индукции $M$. Ответ выразите через $S$, $\ell$, $\mu$, $I_1$, $I_2$, $N_1$ и $N_2$.

Взаимодействие двух обмоток полностью описывается найденными величинами $L_{1}, L_{2}$ и $M$. На схемах трансформатор изображается следующим образом:

A4  ^0.40

Найдите ЭДС магнитной индукции $\mathcal E_{1}$ и $\mathcal E_{2}$, возникающие в первичной и вторичной обмотках соответственно. Ответ выразите через $\dot{{I}_{1}}, \dot{{I}_{2}}, L_{1}, L_{2}$ и $M$.

Примечания:

• ЭДС $\mathcal E_{1}$ считается положительной, если электростатический потенциал в верхней точке a1 больше, чем в нижней a2.
• ЭДС $\mathcal E_{2}$ считается положительной, если электростатический потенциал в верхней точке b1 больше, чем в нижней b2.

На первичную обмотку подали синусоидальное напряжение $U_1(t)=\operatorname{Re}\left[\tilde U_{1} e^{-i \omega t}\right]$ с амплитудой $U_0=|\tilde U_1|$. Все величины в системе также будут меняться синусоидально, а значит можно ввести соответствующие комплексные амплитуды:$$
I_{1}(t)=\operatorname{Re}\left[\tilde{I}_{1} e^{-i \omega t} \right],\quad I_{2}(t)=\operatorname{Re}\left[\tilde{I}_{2} e^{-i \omega t} \right],\quad U_{2}(t)=\operatorname{Re}\left[\tilde{U}_{2} e^{-i \omega t}\right].
$$Пусть ко вторичной обмотке подключена цепь с импедансом $Z$. Для записи ответов вы можете явно использовать вещественную и мнимую части $Z$: $\operatorname{Re}Z$ и $\operatorname{Im}Z$ соответственно.

A5  ^0.50 Получите выражение для коэффициента трансформации тока $k_{I}\equiv{\left|\tilde{I}_{1}\right|}/{\left|\tilde{I}_{2}\right|}$. В ответ могут входить $L_1$, $L_2$, $\omega$ и $Z$.

A6  ^0.50 Чему равен коэффициент трансформации напряжения $k_{U}={\left|\tilde{U}_{2}\right|}/{\left|\tilde{U}_{1}\right|}$? В ответ могут входить $L_1$, $L_2$, $\omega$ и $Z$.

Основное приложение трансформаторов – понижение амплитуды тока (и, соответственно, повышение амплитуды напряжения) перед тем, как подавать его на линию электропередачи. Это необходимо для того, чтобы снизить омические потери в проводах. Для таких трансформаторов, называемых силовыми:
\[
k_{I}, k_{U} \gg 1 \tag{1}\]

A7  ^0.30 Запишите условие на количество витков в обмотках $N_{1}$ и $N_{2}$, при котором выражение $(1)$ выполняется.

Из-за наличия взаимной индукции, источник напряжения $U_1$ может совершать работу, несмотря на отсутствие активного сопротивления, подключенного непосредственно к нему.

A8  ^0.60 Определите разность фаз $\Delta\varphi$, на которую напряжение $U_1$ опережает ток $I_1$. В ответ могут входить $L_1$, $L_2$, $\omega$ и $Z$.

А9  ^0.60 Определите усредненную по времени мощность $P$ источника $U_1$. В ответ могут входить $U_0$, $Z$, $N_1$ и $N_2$.

Часть B. Измерительный трансформатор тока (0.5 балла)

Если вы хоть раз делали эксперимент с электричеством, вы должны знать, как легко может перегореть амперметр при больших токах! Для предотвращения таких казусов применяют измерительный трансформатор тока, который занижает ток в фиксированное количество раз. Первичной обмоткой трансформатора является проводник с измеряемым переменным током $I$, а ко вторичной обмотке с количеством витков $N$ подключается амперметр. Внутреннее сопротивление амперметра очень мало, поэтому фактически вторичная обмотка трансформатора работает в режиме, близком к короткому замыканию. Магнитная проницаемость сердечника – $\mu\gg 1$, его радиус – $R$ и много больше толщины провода.

B1  ^0.50 Найдите отношение $I / I_{A}$.

Потери энергии в трансформаторах

Для использования трансформаторов в промышленных целях необходимо уметь определять и минимизировать потери энергии в них. Энергия в трансформаторах теряется в основном за счет следующих факторов:

1. Джоулевы потери в обмотках
2. Джоулевы потери в толще сердечника из-за индуцированных вихревых токов
3. Перемагничивание (ферромагнитный гистерезис)

В следующих частях будет изучено влияние каждого из факторов, считая эти факторы независимыми и малыми, а также будет рассчитан КПД трансформатора. Будем для простоты считать, что число витков в первичной и вторичной обмотках одинаково.

Для численных расчётов используйте следующие значения:

• Длина сердечника $\ell=25~см$
• Площадь поперечного сечения сердечника $S=100~см^2$, его радиус можно считать постоянным
• Индукция насыщения материала сердечника $B_\mathrm s=1.5~Тл$
• Коэрцитивная сила материала сердечника $H_\mathrm c=20~А/м$
• Магнитная проницаемость материала сердечника $\mu=1000$
• Число витков в каждой из обмоток трансформатора $N=100$
• Диаметр проволоки $d=0.6~мм$
• Проводимость меди $\sigma_\mathrm w=5.8\cdot 10^7~Ом^{-1}\cdot м^{-1}$
• Проводимость материала сердечника $\sigma_\mathrm c=30\cdot 10^3~Ом^{-1}\cdot м^{-1}$
• Частота подаваемого напряжения $f=50~Гц$
• Толщина пластин магнитопровода $h=0.4~мм$
• Сопротивление питаемой нагрузки $R=160~Ом$
• Действующее (среднеквадратичное) напряжение источника $U_{\mathrm{rms}}=220~В$

Часть C. Омические потери в обмотках (2 балла)

Будем моделировать сопротивление обмоток, добавив в первичную и вторичную обмотки малое сопротивление $r$ (см. рис. ниже).

C1  ^0.20 Получите выражение для средней мощности $P_0$, которая выделяется на нагрузке, если сопротивлением обмоток можно пренебречь. Ответ выразите через амплитуду входного напряжения $U_0$ и сопротивление нагрузки $R$. Вычислите её для трансформатора, параметры которого даны в задаче ранее.

C2  ^0.30 По аналогии с частью A запишите уравнения, связывающие комплексные амплитуды $\tilde U_1$, $\tilde U_2$, $\tilde I_1$ и $\tilde I_2$. В ответ также могут входить $R$, $r$, индуктивность одной обмотки $L$ и циклическая частота $\omega$.

C3  ^0.40 Выразите $\tilde I_1$ и $\tilde I_2$ через $\tilde U_1$ и другие необходимые вам величины, в которые могут входить $R$, $r$, $L$ и $\omega$.

C4  ^1.10 Здесь и далее работайте в пределе $r\ll R, \omega L$.

Получите выражения для мощности Джоулевых потерь $P_{r1}$ и $P_{r2}$, выделяющихся в первичной и вторичной обмотках. Ответ выразите через амплитуду входного напряжения $U_0$, а также $r$, $\omega$ и $L$.

Вычислите суммарную мощность Джоулевых потерь на обмотках $P_{r} =P_{r1} + P_{r2}$ для трансформатора, параметры которого даны ранее в задаче. Приведите в листах решений подробные выкладки для ваших расчётов.

Часть D. Токи Фуко (2.7 балла)

Если в проводящем материале создать переменное магнитное поле, в нём возникает вихревое электрическое поле и связанные с ним токи Фуко. Это приводит к дополнительным потерям энергии. Рассмотрим длинный цилиндрический сердечник с сечением $S$ и длиной $\ell$ (будем считать, что $\ell\gg\sqrt{S}$). Магнитное поле $\vec B(t)=\operatorname{Re}\left[B_0 \hat z e^{-i\omega t}\right]$ пронизывает этот сердечник по его оси $z$. Влиянием токов Фуко на распределение магнитного поля пренебрегите.

D1  ^0.30 Запишите выражение для тангенциального электрического поля $E(r,t)$.

D2  ^0.70 Получите выражение для средней мощности Джоулевых потерь $P_\mathrm{eddy}$, выделяющихся в сердечнике. Выразите ответ через проводимость материала сердечника $\sigma_\mathrm c$, площадь его поперечного сечения $S$, длину $\ell$, а также $B_0$ и $f$.

Чтобы уменьшить потери, сердечник делают слоистым вдоль его оси – между слоями ферромагнетика прокладывают тонкие прослойки непроводящего материала. В этом случае токи Фуко могут возбуждаться лишь отдельно в каждой пластинке.

Рассмотрим такую пластинку толщиной $h$ во внешнем поле $\vec B(t)=\operatorname{Re}\left[B_0 \hat y e^{-i\omega t}\right]$, направленном параллельно ей.

Несложно показать, что в такой системе возбуждаемое электрическое поле также параллельно пластинке и перпендикулярно магнитному полю. Будем искать его в виде:\[\vec E(z,t)=\operatorname{Re}\left[Az\hat xe^{-i\omega t}\right].\]

D3  ^0.30 Найдите множитель $A$.

D4  ^1.40 Запишите выражение для мощности $\mathrm dP/\mathrm dV$, выделяющейся в такой пластинке в расчёте на единицу объёма, усреднённой по всей высоте пластинки, а также по времени. В ответ могут входить $S$, $\ell$, $B_0$, $h$, $\sigma_{\mathrm c}$ и $f$.

Пусть теперь сердечник собран из пластин с параметрами, указанными выше в задаче. Ко вторичной обмотке всё ещё подключена нагрузка $R$. Выразите мощность $P'_\mathrm{eddy}$, которая выделялась бы в сердечнике вследствие токов Фуко, через параметры, данные в задаче. Вычислите эту мощность.

Часть E. Гистерезис (1.2 балла)

Наконец, рассмотрим влияние гистерезиса. Будем считать, что под воздействием напряжённости магнитного поля, создаваемого током в обмотках, индукция магнитного поля внутри сердечника описывает кривую намагничивания, показанную на рисунке ниже. Ширина этой кривой по $H$ постоянна, магнитное поле варьируется в диапазоне от $-B_\mathrm s$ до $+B_\mathrm s$ (т.н. индукция насыщения) и обнуляется при $\pm H_\mathrm c$ (т.н. коэрцитивная сила).

E1  ^0.40 Рассмотрим для простоты трансформатор без нагрузки. Запишите энергию, которую источник передаёт сердечнику, когда через первичную обмотку течёт ток $I$, а поток через сердечник меняется на $\mathrm d\Phi$. Затем выразите эту энергию через $H$, $\mathrm dB$ и параметры сердечника.

E2  ^0.30 Будем считать, что последнее выражение справедливо в произвольном случае. Запишите выражение для средней мощности $P_{\mathrm{hyst}}$ гистерезисных потерь. Ответ выразите через $H_\mathrm c$, $B_\mathrm s$ и величины, данные в начале части C. Также получите численное значение.

E3  ^0.50 Считая все вклады, посчитанные в частях C, D и E, малыми и независимыми, вычислите итоговый КПД трансформатора $\eta$.