Запишем теорему о циркуляции для всего трансформатора:
$$H\cdot l = N_1I_1-N_2I_2,$$Выразим поток магнитного поля:

Найдите ЭДС магнитной индукции $\mathcal E_{1}$ и $\mathcal E_{2}$, возникающие в первичной и вторичной обмотках соответственно. Ответ выразите через $\dot{{I}_{1}}, \dot{{I}_{2}}, L_{1}, L_{2}$ и $M$.

Примечания:

• ЭДС $\mathcal E_{1}$ считается положительной, если электростатический потенциал в верхней точке a1 больше, чем в нижней a2.
• ЭДС $\mathcal E_{2}$ считается положительной, если электростатический потенциал в верхней точке b1 больше, чем в нижней b2.

Используя уравнения из А4 и следующие соотношения : $$U_2 = I_2Z\\ M^2=L_1L_2$$ $$ I_2 Z=\mathcal E_2=-L_2 \dot{I}_2-M \dot{I}_1 \\ I_2\left(Z-i \omega L_2\right)=i \omega M I_1 $$ получаем

Записывая уравнения из прошлых пунктов: $$ U_2=-L_2 \dot{I}_2-M \dot{I}_1 \\ U_2=I_2 \cdot Z \\ U_1=L_1 \dot{I}_1+M \dot{I}_2 $$ выражаем $U_2$ через $U_1$: $$ U_2=i \omega L_2 \frac{U_2}{Z}+i \omega M I_1 \\ U_1=-i \omega L_1 I_1-i \omega M \frac{U_2}{Z} \\ U_2\left(1-\frac{i \omega L_2}{Z}\right)=\frac{M}{L_1}\left(U_1-\frac{i \omega M}{Z} U_2\right)\\ \frac{U_2}{U_1}=\frac{\frac{M}{L_1}}{1-\frac{i \omega L_2}{Z}+\frac{i \omega M^2}{Z L_1}}=\frac{M}{L_1}=-\frac{N_2}{N_1} $$ получаем:

$$
\begin{aligned}
& U_1+\frac{i \omega M}{Z} \cdot U_2=-i \omega L_1 I_1 \\
& U_1\left(1-\frac{i \omega M N_2}{Z N_1}\right)=-i \omega L_1 I_1\\
& U_1 = \frac{-i\omega L_1 Z N_1}{ZN_1 - i\omega MN_2}I_1
\end{aligned}
$$после преобразований:

Либо, что удобно для дальнейших вычислений,$$\cos{\Delta \varphi} = \frac{\omega L_2 \text{Re}~Z}{|Z|\sqrt{(\text{Re}~Z)^2+(\omega L_2-\text{Im}~Z)^2}}$$

Средняя мощность находится как:
$$P=\frac{1}{2} |I_1| |U_1|\cos{\Delta \varphi}$$Подставляя получаем:

Вычисления можно было существенно сократить используя следующую формулу для мощности:$$P=\text{Re}\left(\frac{1}{2} I_1 U_1^*\right)$$

Используя формулу для $k_I$ получаем ответ:

Применяя формулу для средней мощности:

Выражаем: \begin{gathered} \tilde{I}_2(R+r-i \omega L)=-i \omega L \tilde{I}_1 \\ \tilde{U}_1=\left(-i \omega L+r+\frac{\omega^2 L^2}{R+r-i \omega L}\right) \tilde{I}_1 \\ \tilde{I}_1=\frac{(R+r-i \omega L) \tilde{U}_1}{(r-i \omega L)(R+r-i \omega L)+\omega^2 L^2} \end{gathered} получаем:

Получите выражения для мощности Джоулевых потерь $P_{r1}$ и $P_{r2}$, выделяющихся в первичной и вторичной обмотках. Ответ выразите через амплитуду входного напряжения $U_0$, а также $r$, $\omega$ и $L$.

Вычислите суммарную мощность Джоулевых потерь на обмотках $P_{r} =P_{r1} + P_{r2}$ для трансформатора, параметры которого даны ранее в задаче. Приведите в листах решений подробные выкладки для ваших расчётов.

Запишем мощность выделяющуюся на первой и второй обмотке:
$$
P_{r1}=\frac{|\tilde{I_1}|^2r}{2}=\frac{U_0^2r}{2}\cdot \left| \frac{R+r-i \omega L}{r(R+r)-i \omega L(R+2 r)}\right|^2
$$$$
P_{r2}=\frac{|\tilde{I_2}|^2r}{2}=\frac{U_0^2r}{2}\cdot \left| \frac{-i \omega L}{r(R+r)-i \omega L(R+2 r)}\right|^2
$$Считая, что $r \ll R, \omega L$ получаем:

Тогда суммарная мощность потерь:
$$
P_r = \frac{U_0^2r}{2}\cdot\frac{R^2+2\omega^2 L^2}{\omega^2L^2R^2}
$$

Проведем расчеты:
$$
U_0 = U_{\text{rms}}\cdot \sqrt{2}=311~\text{В}\\
\omega = 2\pi f = 314~ \frac{\text{рад}}{с}\\
L=\frac{\mu\mu_0SN^2}{l} = 0.503~ \text{Гн}\\
$$длина одного витка:
$$
c= 2\pi \cdot \sqrt{\frac{S}{\pi}}=35.4 ~\text{см}\\
$$Сопротивление обмотки:
$$
r = \frac{1}{\sigma_\text{w}}\cdot\frac{Nc}{\frac{\pi d^2}{4}}=2.16~ \text{Ом}
$$тогда

Запишем поток магнитного поля через круг радиусом $r$:$$\Phi=B\pi r^2$$Закон электромагнитной индукции для круга радиусом $r$:$$\mathcal{E}=-\dot{\Phi}\\
2\pi r E(r,t)=i\omega\pi r^2B_0 e^{-i\omega t} $$

Запишем мощность Джоулевых потерь в расчете на единицу объема:
$$
p_\mathrm{eddy}(r, t) = \sigma_c E^2=\frac{\sigma_c B_0^2 \omega^2 r^2}{4}\sin^2\omega t
$$усредняя по времени получим:
$$
\overline{p_\mathrm{eddy}} = \frac{\sigma_c B_0^2 \omega^2 r^2}{8}
$$Тогда средняя мощность выделяющаяся на всем сердечнике:
$$
P_\mathrm{eddy} = \frac{\sigma_c B_0^2 \omega^2 l}{8} \cdot \int_0^{\sqrt{\frac{S}{\pi}}}2\pi r^3 dr
$$вычисляя

Запишем закон электромагнитной индукции для прямоугольника c размерами $2z\times 2x$:
$$
E_x(z, t)\cdot 4x = -\dot{\Phi} = 2x\cdot 2z\cdot \text{Re}~(i\omega B_0 e^{-i\omega t}) \\
E_x(z,t) =\text{Re}~(i\omega B_0 z e^{-i\omega t})
$$

Запишем выражение для мгновенной мощности в определенной точке в расчете на единицу площади:
$$\frac{\mathrm dP}{\mathrm dV}(z, t) = \sigma_c E^2(z, t) = \sigma_c \omega^2 B_0^2 z^2\sin^2{\omega t}$$усредняя по времени получим:
$$\frac{\mathrm dP}{\mathrm dV}(z) =\frac{1}{2} \sigma_c \omega^2 B_0^2 z^2$$теперь усредним по высоте $z$:$$
\frac{\mathrm dP}{\mathrm dV} =\frac{1}{2} \sigma_c \omega^2 B_0^2\cdot \frac{1}h\displaystyle\int\limits^{{h}/2}_{-{h}/2} z^2 dz = \frac{1}{24}\sigma_c \omega^2B_0^2h^2$$

Найдем выражение для мощности выделяемой на всем трансформаторе: $$P'_{eddy}=\frac{\mathrm dP}{\mathrm dV}\cdot Sl = \frac{\pi^2}{6}\sigma_cB_0^2 f^2h^2Sl$$можно заметить, что здесь мощность пропорциональна $S$, а не $S^2$, (как это было в случае цельного сердечника), а значит мощность потерь будет значительно ниже.

Теперь найдем амплитуду магнитного поля $B_0$. Используем уравнение для связи потока магнитного поля через сердечник и напряжения на обмотке из части $А$: $$ U_1 = N\dot{\Phi} = NS(-i\omega B)\\ B_0= \frac{U_0}{2\pi fNS} = 0.99 ~\text{Тл} $$ рассчитаем $P'_\mathrm{eddy}$:

За один период на графике $B(H)$ будет описана одна полная петля гистерезиса, а значит будет потеряно энергии
$$\Delta W = Sl\cdot\Delta H \Delta B = Sl\cdot2H_c\cdot2B_s = 4SlH_cB_s$$Тогда средняя мощность энергии в следствии гистерезиса будет равна:
$$P_\mathrm{hyst} = \frac{\Delta W}{T}$$

$$\eta = 1-\frac{P_r+P_\mathrm{eddy}+P_\mathrm{hyst}}{P_0}$$