| 1 Получены выражения потоков с учётом верного направления: $\Phi_1 = N_1\Phi$, $\Phi_2 = - N_2 \Phi$ | 2 × 0.10 |
|
| 1 Записана циркуляция вектора $\vec{H}$: $\oint_\ell \vec{H}d\vec{\ell} = H\ell = \Sigma I_k = N_1I_1-N_2 I_2$ | 0.10 |
|
| 2 Найдет ответ: $\Phi = \mu\mu_0\frac{S}{\ell}(N_1I_1 - N_2I_2)$ | 0.10 |
|
| 1 Получены верные выражения $L_1$, $L_2$, $M$ для верных направлений потоков: $L_1 = \mu\mu_0\frac{S}{\ell}N_1^2$, $L_2 = \mu\mu_0\frac{S}{\ell}N_2^2$ | 2 × 0.10 |
|
| 2 $M = -\mu\mu_0\frac{S}{\ell}N_1N_2$ | 0.10 |
|
Найдите ЭДС магнитной индукции $\mathcal E_{1}$ и $\mathcal E_{2}$, возникающие в первичной и вторичной обмотках соответственно. Ответ выразите через $\dot{{I}_{1}}, \dot{{I}_{2}}, L_{1}, L_{2}$ и $M$.
Примечания:
| 1 ЭДС выражены через производные потоков с верным направлением: $\mathcal E_1 = {\mathrm d\Phi_1}/{\mathrm dt}$, $\mathcal E_2 =- {\mathrm d\Phi_2}/{\mathrm dt}$ | 2 × 0.10 |
|
| 2 Получен ответ: $\mathcal E_1 = L_1\dot I_1 + M\dot I_2$, $\mathcal E_2 = - L_2\dot I_2 - M\dot I_1$ | 2 × 0.10 |
|
| 1 Записано исходное выражение: $\tilde{\mathcal E_2} = i\omega(L_2\tilde{I}_2 + M\tilde{I}_1) = Z\tilde{I}_2$ | 0.10 |
|
| 2 Получена связь: $\tilde{I}_1 = \cfrac{Z - i\omega L_2}{i\omega M}\tilde{I}_2$ | 0.10 |
|
| 3 Получен ответ: $k_I = \cfrac{\sqrt{(\operatorname{Re}Z)^2 + (\operatorname{Im}Z - \omega L_2)^2}}{\omega\sqrt{L_1 L_2}}$ | 0.30 |
|
| 4 Ответ выражен не через требуемые величины | -0.10 |
|
| 1 Верно записано исходное выражение: $\tilde{U}_1 =- i\omega(L_1\tilde{I}_1 + M\tilde{I}_2) $ | 0.10 |
|
|
2
Получена связь: $\tilde{U}_1 = \cfrac{ZL_1 + i\omega(L_1L_2 - M^2)}{ZM}\tilde{U}_2$ |
0.20 |
|
| 3 Получен ответ: $k_U = \sqrt{{L_2}/{L_1}}$ | 0.20 |
|
| 4 Ответ выражен не через требуемые величины | -0.10 |
|
| 1 Любое строгое неравенство, из которого следует ${N_2}\gg N_1$ | 0.30 |
|
| 1 Получено соотношение: $\tilde{I}_1 = \cfrac{iZ + \omega L_2}{\omega L_1 Z}\tilde{U}_1$ | 0.30 |
|
| 2 Ответ: $\Delta \varphi = \operatorname{arctg}\left(\cfrac{|Z|^2 - \omega L_2 \operatorname{Im}Z}{\omega L_2 \operatorname{Re}Z}\right)$ | 0.30 |
|
| 1 Использована формула: $P=\frac{1}{2} |I_1| |U_1|\cos{\Delta \varphi}$ или $P=\text{Re}\left(\frac{1}{2} I_1 U_1^*\right)$ | 0.20 |
|
| 2 Получен ответ: $P = \frac{U_1^2 \text{Re}~Z}{2 |Z|^2}\cdot \frac{N_2^2}{N_1^2}$ | 0.40 |
|
| 1 Использована формула из A6 для $k_I$ или записана циркуляция вектора $\vec{H}$ | 0.20 |
|
| 2 Получен ответ: $I / I_{A} = N$ | 0.30 |
|
| 1 Ответ: $P_0 = {U_0^2}/{2R}$, значение: $P_0 = 302.5~Вт$ | 2 × 0.10 |
|
| 1 Записаны выражения: $\tilde{U}_1= - i\omega(L\tilde{I}_1 - L\tilde{I}_2) + r\tilde{I}_1 $ и $ i\omega(L\tilde{I}_2 - L\tilde{I}_1) = (r + R)\tilde{I}_2=\tilde U_2$ | 3 × 0.10 |
|
| 1 Получены ответы: $\tilde{I}_1=\frac{R+r-i \omega L}{r(R+r)-i \omega L(R+2 r)} \tilde{U}_1$ и $\tilde{I}_2=\frac{-i \omega L}{r(R+r)-i \omega L(R+2 r)} \tilde{U}_1$ | 2 × 0.20 |
|
Получите выражения для мощности Джоулевых потерь $P_{r1}$ и $P_{r2}$, выделяющихся в первичной и вторичной обмотках. Ответ выразите через амплитуду входного напряжения $U_0$, а также $r$, $\omega$ и $L$.
Вычислите суммарную мощность Джоулевых потерь на обмотках $P_{r} =P_{r1} + P_{r2}$ для трансформатора, параметры которого даны ранее в задаче. Приведите в листах решений подробные выкладки для ваших расчётов.
| 1 Верные формулы для $P_{r1}$ и $P_{r2}$: $P_{r1} = \cfrac{R^2 + \omega^2L^2}{\omega^2 L^2R^2}\cfrac{U_0^2}{2}r$ и $P_{r2} = \cfrac{U_0^2}{2R^2}r$ | 2 × 0.20 |
|
|
2
Вычислены значения $L$ и $r$: $r = \cfrac{4}{\pi}\cfrac{N\sqrt{d^2 + (2\pi(R + d/2))^2}}{\sigma_wd^2} \simeq 2.2~\text{Ом}$ и $L = \mu\mu_0\cfrac{S}{\ell}N^2 \simeq 0.5~\text{Гн}$ Примечание: Если длина обмотки вычислена как $2\pi NR$, баллы не снижаются |
2 × 0.20 |
|
| 3 Вычислены: $P_{r1} \simeq 8.35 ~\text{Вт}$ и $P_{r2} \simeq 4.12 ~\text{Вт}$ | 2 × 0.10 |
|
| 4 Вычислено: $P_r \simeq 12.4 ~\text{Вт}$ | 0.10 |
|
| 1 Записана теорема магнитной индукции: $-2\pi rE(r,t) =\pi r^2\dot B$ | 0.20 |
|
| 2 Ответ $E(r, t) =\frac{B_0\omega r}{2} \sin{\omega t}$ | 0.10 |
|
| 1 Объёмная мощность Джоулевых потерь $p_\mathrm{eddy}(r, t) = \sigma_c E^2=\frac{\sigma_c B_0^2 \omega^2 r^2}{4}\sin^2\omega t$ | 0.20 |
|
| 2 Усреднение по времени | 0.10 |
|
| 3 Правильное интегрирование мощности по объёму сердечника | 0.20 |
|
| 4 Ответ: $P = \cfrac{\pi\ell\sigma_cf^2B_0^2S^2}{4}$ | 0.20 |
|
| 1 Записана теорема о циркуляции | 0.10 |
|
|
2
Ответ: $A = i\omega B_0 $ |
0.20 |
|
| 1 Выражение для объёмных потерь: $\cfrac{\mathrm dP}{\mathrm dV} = \sigma_cE^2 = \sigma_c \omega^2 B^2_0z^2\sin(\omega t)^2$ | 0.20 |
|
| 2 Усреднение по времени | 0.10 |
|
| 3 Правильное интегрирование мощности по объёму пластинки | 0.20 |
|
| 4 Ответ $\cfrac{\mathrm dP}{\mathrm dV} =\cfrac{\pi^2\sigma_c f^2 B^2_0h^2}{6}$ | 0.30 |
|
| 5 Выражено $B_0 = \cfrac{U_0}{\omega NS} $ | 0.20 |
|
| 6 Вычислено $B_0 = 0.99~\text{Тл}$ | 0.10 |
|
| 7 Численный ответ: $P'_ \mathrm{eddy} = 0.05~\text{Вт}$ | 0.30 |
|
| 1 Записано: $\mathrm dW = NI\,\mathrm d\Phi$ | 0.10 |
|
| 2 Выражено через $H$ и $\mathrm dB$: $\mathrm dW = S\ell H\,\mathrm dB$ | 0.30 |
|
| 1 Идея интегрирования $\mathrm dW$: $P_\mathrm{hyst} = S\ell\cdot\displaystyle\oint H\,\mathrm dB = S\ell \cdot S_\mathrm{hyst}$ (где $S_\mathrm{hyst}$ – площадь петли гистерезиса) | 0.10 |
|
| 2 Получен ответ и значение: $P_\mathrm{hyst} = 4fH_c B_s S\ell= 15.0~ \text{Вт}$ | 2 × 0.10 |
|
| 1 Формула для КПД в приближении малого вклада $\eta = 1 - \cfrac{P_r+ P_\mathrm{eddy}+P_\mathrm{hyst}}{P_0}$ | 0.10 |
|
| 2 Численный ответ $\eta = 0.91$ | 0.40 |
|