A1  ^1.40 Поставьте на стол банку с жидкостью, а за ней саморез на расстоянии $a = 12~см$ от поверхности банки (рис. 1). Наблюдайте изображение самореза в цилиндрической линзе, образованной банкой с жидкостью. Предложите способ поиска местоположения изображения самореза. Подробно и очень понятно опишите (с помощью схем и текста) данный способ. На каком расстоянии $c$ от банки находится изображение самореза?

Для поиска положения изображения самореза поставим перед цилиндрической линзой второй саморез (рис. 3). Будем одновременно наблюдать изображение первого самореза и второй саморез. В общем случае при смещении точки наблюдения второй саморез и изображение первого будут смещаться друг относительно друга в поле зрения наблюдателя, так как находятся в разных точках пространства. Однако можно подобрать такое положение второго самореза, при котором такого смещения происходить не будет. В этом случае положение второго самореза будет совпадать с положением изображения первого. Так, если поместить первый саморез на расстоянии $a=12.0 \ см$ от поверхности линзы, то можно определить расстояние $c=(5.3\pm0.5) \ см$ между его изображением и поверхностью банки.

A2  ^2.10 Измерьте зависимость расстояния между поверхностью банки и изображением самореза $c$ от расстояния между поверхностью банки и саморезом $a$. Проведите измерения для $a$ в диапазоне от $5$ до $12~см$, не менее 7 точек.

Проведем измерение зависимости расстояния между поверхностью линзы и изображением самореза от расстояния между им самим и поверхностью линзы. Погрешность измерения расстояния $a$ оценим в $1~мм$. Погрешность определения расстояния $c$ оценим в $5~мм$, так как метод измерения не позволяет искать положение изображения с большей точностью.

A3  ^0.60 Определите внешний радиус банки $R$.

Для определения радиуса кривизны поверхности линзы измерим длину окружности банки. Для этого вырежем тонкую полоску бумаги и обернем ей цилиндрическую поверхность линзы. Получим значение длины $L=(26.8\pm0.1) \ см$. Тогда радиус окружности составит:

B1  ^1.00 Рассмотрим границу воздуха и среды с показателем $n$ в форме цилиндрической поверхности радиуса $r$ (рис. 2). В воздухе, на расстоянии $x$ от границы находится точечный источник. На каком расстоянии $y$ от границы внутри среды находится изображение? Считайте пучки параксиальными.

Опишем работу цилиндрической линзы в параксиальном приближении. Для этого сначала рассмотрим формирование изображения от точечного источника на сферической границе двух сред (см рисунок 5).

Пусть точечный источник света $S$ находится в воздушной среде на расстоянии $x$ от сферической границы поверхности воздушной среды и среды с показателем преломления $n$. Опустим перпендикуляр к границе раздела сред из места положения источника света, будем называть эту линию осевой. Рассмотрим луч, идущий из источника света под малым углом $\alpha$ к осевой линии. Проведем перпендикуляр к границе раздела сред в точке падения луча. Обозначим угол между осевой линией и перпендикуляром к границе раздела сред в точке падения луча $\gamma$. После преломления луч пересечет осевую линию под углом $\beta$ на расстоянии $y$ от границы раздела сред. Обозначим расстояние между осевой линией и местом падения луча на границу раздела сред за величину $h$. Так как все введенные углы малы, то их легко связать с введенными линейными геометрическими размерами:\begin{equation}
\alpha=\frac{h}{x}, \qquad \beta=\frac{h}{y}, \qquad \gamma=\frac{h}{r}.
\end{equation}Угол падения луча на границу раздела сред $\alpha+\beta$ связан с углом преломления луча $\gamma-\beta$ законом Снеллиуса, который в приближении малых углов можно записать как:\begin{equation}
\alpha+\beta=n(\gamma-\beta).
\end{equation}Откуда для связи расстояний $y$ и $x$ получаем:

Так как в полученной формуле расстояние $y$ не зависит от угла $\alpha$ направления распространения луча из источника света, то все лучи испущенные источником под малым углом к осевой линии пересекутся в точке, отстоящей от границы раздела сред на расстояние $y$. То есть сформируется изображение источника $S$, которое обозначим за $S'$.

B2  ^2.00 Рассмотрите цилиндрическую линзу радиуса $R$ из вещества с показателем преломления $n$. Рассчитайте, как в для этой линзы связаны величины $a$ и $c$ в приближении параксиальных пучков.

Первый способ

Рассмотрим цилиндрическую линзу как две поверхности границы раздела сред с радиусом кривизны $R$ отстоящие друг от друга на расстояние $2R$.

Тогда первая граница раздела сред сформирует изображение $S'$ сформирует изображение источника $S$. Это изображение в свою очередь станет источником для второй границы раздела сред и будет отстоять от второй границы раздела на расстояние $2R-y$. Применим дважды формулу, полученную для связи положений источника и изображения при преломлении на сферической поверхности границы раздела сред.\begin{equation}
\frac{1}{a}+\frac{n}{b}=(n-1)R,\qquad
\frac{n}{2R-b}+\frac{1}{c}=(n-1)R.
\end{equation}Откуда для величины $c$ можем получить:

где введено обозначение ${1}/{F}={(n-1)}/{R}$.

Второй способ

Также можно получить формулу, связывающую $c$ и $a$ другим методом. Для этого необходимо рассмотреть линзу как три отдельных оптических элемента (см. рисунок 7).

Части линзы с искривленными поверхностями ведут себя как плоско-выпуклые  тонкие линзы с фокусным расстоянием:\begin{equation}
F=\frac{R}{n-1}.
\end{equation}Для первой по ходу лучей линзы можно записать формулу тонкой линзы, связывающую положение источника и его изображения:\begin{equation}
\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b},
\end{equation}где $b$ – расстояние между первой тонкой линзой и изображением, образованным в ней.

После прохождения первой линзы лучи попадают на плоскопараллельную пластину, которая в параксиальном приближении перемещает изображение ближе дальше от первой линзы на расстояние: \begin{equation} \Delta=2R\,\frac{n-1}{n}. \end{equation} Полученное в плоскопараллельной пластине изображение является мнимым источником для второй тонкой линзы, которая в свою очередь формирует окончательное изображение в толстой линзе. Запишем формулу тонкой линзы с учетом знаков для преломления на второй линзе: \begin{equation} \frac{1}{F}=\frac{1}{2R-b-\Delta}+\frac{1}{c}=-\frac{1}{b-2R/n}+\frac{1}{c} .\end{equation} Объединяя полученные формулы, получим такую же теоретическую связь между расстоянием $c$ и расстоянием $a$.

C1  ^1.00 Постройте график зависимости $c(a)$ для экспериментальных данных.

Нанесем полученные экспериментальные точки на график.

C2  ^1.50 Определите показатель преломления $n$ жидкости в банке. Для этого можно использовать наиболее удобную точку графика. Считайте при этом стенки банки тонкими.

Наиболее удобной точкой для проведения расчета показателя преломления является точка с совпадающими по обеим осям координатами. Для ее поиска проведем на графике вспомогательную прямую линию, показывающую множество таких точек. Интерполируем экспериментальные точки и найдем с точностью до $0.5~см$ значения расстояния $a_0=(8.2\pm0.5) \ см$ от самореза до поверхности линзы, при котором его изображение находится на том же расстоянии от поверхности линзы, но с другой стороны.

В этом случае ход лучей в системе симметричен относительно плоскости, проходящей через середину линзы перпендикулярно линии, соединяющей источник и его изображение (в дальнейшем оптической оси или ОО). То есть внутри линзы лучи идут параллельно оптической оси.

Для теоретической связи параметров линзы с измеренным расстоянием $a_0$ построим ход лучей в линзе в параксиальном приближении (см. рис. 4). Для этого рассмотрим луч, идущий под небольшим углом из источника. После второго преломления на поверхности линзы луч придет в точку, где располагается изображения источника.

Пусть луч, выходящий из источника, идет под углом $\alpha$ к оптической оси и падает на поверхность линзы на расстоянии $h$ от ОО. Проведем в точке падения перпендикуляр к поверхности линзы. Перпендикуляр одновременно будет являться радиусом линзы. Обозначим угол наклона перпендикуляра к оси $\beta$. В силу малости углов можем записать для них выражения:\begin{equation}\alpha=\dfrac{h}{a_0},\qquad
\beta=\dfrac{h}{R}.
\end{equation}Угол падения луча на поверхность линзы составит $\alpha+\beta$, а угол преломления --- $\beta$. Запишем закон преломления света, с учетом малости углов:\begin{equation}
\alpha+\beta=n \beta.
\end{equation}Объединяя формулы, получаем для показателя преломления:\begin{equation}
n=\frac{\alpha+\beta}{\beta}=1+\frac{\alpha}{\beta}=1+\frac{R}{a_0}.
\end{equation}Рассчитаем показатель преломления жидкости в соответствие с формулой $(3)$:

Погрешность оценим методом границ.

C3  ^0.40 На графике из пункта C1 постройте теоретическую зависимость $c(a)$ используя ранее найденный показатель преломления $n$. Сравните ваши теоретические и экспериментальные данные.

Нанесем теоретическую кривую на график с экспериментальными точками.