Два одинаковых вертикальных тонкостенных цилиндрических сосуда внутреннего радиуса $r$, в которых под поршнями находятся равные количества идеального газа, поставили в комнату с температурой воздуха $T_0$. В одном сосуде газ имеет температуру $T_{\text{х} }< T_0$, а в другом — температуру $T_{\text{г} } > T_0$. Поршень и дно цилиндров теплоизолированные. Мощность тепловых потерь через боковые стенки прямо пропорциональна произведению площади контакта и разности температур содержимого сосуда и окружающей среды: $N = \alpha S\Delta T$, где $\alpha$ — некоторая константа. Атмосферное давление $p_0$, поршни легкие. Молярная теплоемкость газа в сосудах при постоянном давлении $C_p$. Известно, что максимальные скорости, с которыми двигались поршни каждого из цилиндров вплоть до установления в них комнатной температуры равны по модулю ($v_{\text{х}}^{\max}=v_{\text{г}}^{\max}$).

Выразите $T_{\text{г}}$ через $T_0$ и $T_{\text{х}}$.

Все состояния газов в цилиндрах, включая начальные, считайте квазиравновесными. Температура воздуха в комнате постоянна.