Поскольку поршни лёгкие и могут перемещаться без трения, давление внутри и снаружи одинаковое (равно $p_0$). Объём газа под поршнем $V = \pi r^2h$, где $h$ — высота расположения поршня. Уравнение Менделеева-Клапейрона для газа внутри цилиндра $$p_0 \pi r^2 h=\nu RT.$$
Для малых изменений высоты и температуры $$p_0 \pi r^2 dh=\nu RdT,$$ где $dh=vdt$.
Изменение температуры газа происходит изобарически. Уравнение теплового баланса для малого промежутка времени $\alpha h2\pi r(T_0-T )dt=\nu C_p dT$.
Из трёх записанных уравнений находим связь скорости и температуры:
$$v=\frac{2\alpha\nu R^2}{\pi C_p p_0^2r^3}\cdot T(T_0-T).$$
Иначе $$v(T) = aT(T_0-T),$$ где $a = (2\alpha\nu R^2)/(\pi C_p p_0^2r^3)=\text{const}.$
Графическое отображение полученной зависимости — парабола, пересекающая ось абсцисс в точках $0$ и $T_0$. Для горячего цилиндра максимальное значение скорости достигается в начальной точке движения при $T=T_{г}$ и равно по модулю $v_{г}^{\max} = aT_{г}(T_{г}-T_0)$.
Для холодного цилиндра максимальное значение скорости не определяется однозначно. При $T_{х} \ge T_0/2$ оно также достигается в начальной точке движения при $T=T_{х}$ и равно $$v_{х}^{\max} = aT_{х}(T_0 - T_{х}).$$
Если $T_{х} < T_0/2$, то максимум скорости соответствует значению $T=T_0/2$ (вершина параболы) и равен $$v_{х}^{\max} = aT_0^2/4.$$
Приравнивая выражения для скоростей $v_{г}^{\max} = v_{х}^{\max}$, находим искомое.
При $T_{х} \ge T_0/2$ получим $T_{г}(T_{г}-T_0)=T_{х}(T_0 - T_{х})$. Решаем квадратное уравнение (относительно $T_{г}$): $$T_{г}^2 - T_{г}T_0 -T_{х}(T_0 - T_{х}) = 0,$$ оставляем только положительный корень.
Итак:
$$
T_{г}=\frac{T_0 + \sqrt{T_0^2 + 4T_{х}(T_0 - T_{х})}}{2}.
$$
При $T_{х} < T_0/2$ получим $T_{г}(T_{г}-T_0)=T_0^2/4$. Решаем квадратное уравнение (относительно $T_{г}$): $$T_{г}^2 - T_{г}T_0 -T_0^2/4 = 0,$$ оставляем только положительный корень.
Итак:
$$
T_{г}=T_0\cdot\frac{1 + \sqrt{2}}{2}.
$$