Оборудование

Надутый резиновый шарик, надетый на шприц, трубка от капельницы, шприц, стакан с водой, нитки, линейка, ножницы по требованию.

Задание

Избыточное давление внутри резинового шарика достигает нескольких $\text{кПа}$ и зависимость этого давления от размеров шарика связана с упругими свойствами материала шарика. В этой задаче вам предлагается исследовать эту зависимость с помощью самодельного жидкостного манометра. Плотность воды $\rho=1.0~\text{г}/\text{см}^3$, ускорение свободного падения $g=9.8~\text{м}/\text{с}^2$. Добивайтесь того, чтобы при измерениях давления в трубке не было пузырей. В течение всей задачи считайте шарик сферой! 

Замечание. Погрешности оценивать не требуется! 

Замечание. Если вы уверены в том, что закончили измерения, то можете делать с шариком любые необратимые действия.

A1  ^0.25 Измерьте начальный диаметр $D_\text{н}$ шарика.

A2  ^3.00 Постепенно сдувайте шарик, оттягивая его край от шприца, на котором он сидит, и измерьте зависимость избыточного давления $\Delta p$ от размеров шарика. Измеряйте диаметр $D$ шарика. Выполните 3 измерения при $D>22$ см, 9 измерений при $10~\text{см} < D<22~\text{см}$ и 3 измерения при $D<10$ см. При острой необходимости можете самостоятельно немного надуть шарик.

A3  ^0.75 Постройте график зависимости избыточного давления $\Delta p$ в шарике от его диаметра $D$.

A4  ^1.00 Если легкие человека могут создавать любое избыточное давление, а их объем $V_\text{л}$ равен $3~\text{л}$, оцените количество $N$ выдохов, которое потребовалось организаторам, чтобы надуть ваш шарик.

Избыточное давление внутри резинового шарика создается аналогично избыточному давлению под искревленной поверхностью жидкости:
\[ \Delta p = \frac{2\sigma}{R}, \] где $\sigma$ – коэффициент поверхностного натяжения, равный силе действующей на единицу длины границы пленки, $R$ – радиус кривизны поверхности. Таким образом, давление внутри капли жидкости равно $2\sigma/R$, а внутри пузыря жидкости равно $4\sigma/R$.

Рассмотрим маленький «квадратик» $a \times a$ на поверхности упругой сферы диаметра $D_0$ и толщины $\delta_0$. Пусть под действием внеших сил размеры сферы увеличились в $\lambda$ раз, то есть ее диаметр стал равным $\lambda D_0$, тогда размеры выбранного «квадратика» увеличились в $\lambda$ раз. При этом на каждую сторону «квадратика» стала действовать сила упругости
\[
F=(\lambda-1) a \delta E,
\] где $E$ – модуль Юнга материала упругой сферы. Будем работать в модели, что объем материала сферы не меняется при ее растяжении.

A5  ^1.00 Выразите $\lambda$ и $\delta$ через $D$, $D_0$ и $\delta_0$.

Для латекса, из которого изготовлен шарик, известно $E = 2.0~\text{МПа}$. Применим рассмотренный выше подход к описанию шарика, считая его упругой сферой.

A6  ^0.50 Измерьте диаметр $D_0$ нерастянутого шарика (тот диаметр, который у него был бы, если бы он держал форму).

A7  ^0.50 Выберите функцию $f(D)$, чтобы график в координатах $\Delta p$ от $f(D)$ был линейным. Постройте этот график, найдите его угловой коэффициент.

A8  ^2.50 Определите толщину $\delta_0$ стенки нерастянутого шарика.