A1  ^0.25 Измерьте начальный диаметр $D_\text{н}$ шарика.

Обернем шарик ниткой в плоскости горизонтального сечения. Если длина нити превышает размер линейки сложим нить в два раза. Тогда $D_\text{н} = \dfrac{2l}{\pi} = \dfrac{2\cdot 43,6~\text{см}}{3,14}= 27,8~\text{см}$. Тот же метод будем использовать для определения диаметра шарика в процессе измерения давления.

A2  ^3.00 Постепенно сдувайте шарик, оттягивая его край от шприца, на котором он сидит, и измерьте зависимость избыточного давления $\Delta p$ от размеров шарика. Измеряйте диаметр $D$ шарика. Выполните 3 измерения при $D>22$ см, 9 измерений при $10~\text{см} < D<22~\text{см}$ и 3 измерения при $D<10$ см. При острой необходимости можете самостоятельно немного надуть шарик.

Если при измерении складываем нитку в два раза, то $D = 2l_{1/2}/\pi$, если не складывем, то $D = l_{1}/\pi$. Формула разности давлений $\Delta p = \rho g h$, где плотность воды $\rho = 1,00~\text{г/см}^3$. Измерения представленны в виде таблицы ниже.

$l_{½}$, см	$D$, см	$H$, см	$\Delta p$, Па	$l_1$, см	$D$, см	$H$, см	$\Delta p$, Па
43,6	27,8	19,5	1911	49,6	15,8	18,5	1813
42,4	27	15,8	1548	48	15,3	19,4	1901
40,4	25,7	14,6	1431	43	13,7	20,6	2019
38,6	24,6	15,1	1480	38,8	12,4	23	2254
36,4	23,2	12,8	1254	34,6	11	24	2352
35	22,3	13,5	1323	27,8	8,9	29,9	2930
33,6	21,4	13,4	1313	23,4	7,5	28,7	2813
33	21	15,5	1519	19,2	6,1	13,9	1362
30,2	19,2	14,6	1431	18,4	5,9	4,2	412
27,7	17,6	17,2	1686
26,4	16,8	17,1	1676

A3  ^0.75 Постройте график зависимости избыточного давления $\Delta p$ в шарике от его диаметра $D$.

Проведена сглаживающая кривая в рамках модели, описанной в последних пунктах задачи.

A4  ^1.00 Если легкие человека могут создавать любое избыточное давление, а их объем $V_\text{л}$ равен $3~\text{л}$, оцените количество $N$ выдохов, которое потребовалось организаторам, чтобы надуть ваш шарик.

Для определения количества вдохов запишем газовый закон для воздуха внутри шарика $(p_0 + \Delta p) V = \nu RT$. Когда этот воздух был в легких его давление было равно атмосферному и все вещество из легких перешло в шарик, т.е.
\[ (p_0 + \Delta p) V = \nu RT = p_0 N V_\text{л}.\]В итоге формула для $N$:
\[N = \frac{\pi D_\text{н}^3}{6V_\text{л}}\approx 4\]

A5  ^1.00 Выразите $\lambda$ и $\delta$ через $D$, $D_0$ и $\delta_0$.

Диаметр шарика в нерастянутом состоянии $D_0$, а в растянутом $D$, поэтмоу $\lambda = \frac{D}{D_0}$. Резина шарика представляет из себя тонкую сферу диаметра $D$ и толщины $\delta$: ее объем $\pi D^2 \delta$. Если объем резины сохраняется, то $D^2 \delta = D_0^2 \delta_0$ а значит $\delta = \frac{D_0^2}{D^2} \delta_0$.

A6  ^0.50 Измерьте диаметр $D_0$ нерастянутого шарика (тот диаметр, который у него был бы, если бы он держал форму).

Разрежем шарик и измерим $D_0=5.8~\text{см}$.

A7  ^0.50 Выберите функцию $f(D)$, чтобы график в координатах $\Delta p$ от $f(D)$ был линейным. Постройте этот график, найдите его угловой коэффициент.

Коэффициент поверхностного натяжения $\sigma = F/a$ является силой, действующие на единицу длины пленки, т.е. $\sigma = (\lambda - 1) \delta E$. Пользуясь найденными в пункте 5 соотношениями, получим
\[ \sigma = \frac{F}{a} = \left( \frac{D}{D_0} - 1 \right) \frac{D_0^2}{D^2} E \delta_0.\]
Избыточное давление, связанное с наличием $\sigma$ задается уравнением $\Delta p = 2\sigma / R $, поэтому для шарика выполняется соотношение:
\[\Delta p = \frac{4 \left( \frac{D}{D_0} - 1 \right) \frac{D_0^2}{D^2}}{D} E \delta_0\]и график в координатах $\Delta p$ от $ \frac{4 \left( \frac{D}{D_0} - 1 \right) \frac{D_0^2}{D^2}}{D}$ должен оказаться линейным с коэффициентом наклона $E \delta_0$.
Введем величину $X = \frac{4 \left( \frac{D}{D_0} - 1 \right) \frac{D_0^2}{D^2}}{D}$ и будем строить $\Delta p$ от $X$.

$D$, $см$	$X$, $м^{-1}$	$\Delta p$, $Па$	$D$, $см$	$X$, $м^{-1}$	$\Delta p$, $Па$
27,8	2,38	1911	15,8	5,88	1813
27,0	2,50	1548	15,3	6,16	1901
25,7	2,71	1431	21,0	3,80	1519
24,6	2,93	1480	13,7	7,13	2019
23,2	3,24	1254	12,4	8,06	2254
22,3	3,45	1323	11,0	9,05	2352
21,4	3,69	1313	8,9	10,21	2930
19,2	4,38	1431	7,5	9,26	2813
17,6	5,00	1686	6,1	3,19	1362
16,8	5,37	1676	5,9	0,69	412

На графике красным выделены точки соответствующие слишком большим растяжениям.

A8  ^2.50 Определите толщину $\delta_0$ стенки нерастянутого шарика.

Из графика найдем коэффициент наклона $0.24~\text{кПа}\cdot\text{м}$, который приводит нас к ответу $\delta_0=0.12~\text{мм}$.