Рассмотрим упрощённую модель двухколёсного самобалансирующего транспортного средства (гироскутера) с водителем, находящегося на жёсткой шероховатой горизонтальной поверхности, как показано на рис. 4a. Модель включает два идентичных жёстких круглых колеса (толщиной пренебречь), радиус каждого колеса равен \(r\), масса \(m\) распределена равномерно по ободу колеса; центры двух колёс соединены тонким прямым жёстким мостом длиной \(d\), масса которого пренебрежимо мала. Плоскости, в которых лежат колёса, всегда перпендикулярны мосту. Все остальные части транспортного средства и стоящий на нём человек моделируются как однородный тонкий жёсткий стержень массой \(M\) и длиной \(L\). Нижний конец стержня соединён с центральной точкой C моста. Стержень может вращаться без трения вокруг точки C. Кроме того, между стержнем и мостом может существовать момент пары сил (крутящий момент, создаваемый двигателем на стержне) вдоль направления моста. Предполагается, что колёса всегда катятся по поверхности без проскальзывания. Пренебрегите всеми потерями энергии системы. Направление оси \(z\) выбрано вертикально вверх, ось \(x\) параллельна мосту, ось \(y\) совпадает с направлением движения транспортного средства. Известно, что ускорение свободного падения равно \(g\).

В этом пункте двигатель не создаёт момент сил, контакт между стержнем и мостом можно считать точечным; предположим, что два колеса нежёстко соединены с мостом (могут вращаться независимо друг от друга), и массой колёс можно пренебречь.

Рассмотрим процесс поворота транспортного средства. Точка C движется по горизонтальной окружности с постоянной угловой скоростью \(\Omega\). Стержень всегда остаётся в вертикальной плоскости, содержащей мост, и его угол наклона внутрь поворота \(\varphi\) остаётся постоянным. Вид сзади показан на рис. 4b.

Найдите:

1.1 Радиус \(R(\varphi)\) траектории движения точки C

1.2 Величины сил нормальной реакции земли на левое и правое колесо, \(N_l\), \(N_r\) (ответ не может содержать \(R\) из предыдущего пункта).

В следующих пунктах (2) и (3) стержень движется в плоскости, перпендикулярной мосту; два колеса жёстко соединены с мостом, и их массой пренебречь нельзя.

Рассмотрим процесс прямолинейного движения транспортного средства вперёд с ускорением. Вид сбоку показан на рис. 4c. Пусть стержень находится в положении с углом наклона вперёд, равным \(\theta\). Чтобы угол \(\theta\) оставался постоянным, двигатель должен прикладывать к мосту соответствующий крутящий момент \(\tau(\theta)\). Пусть положительное направление оси \(y\) совпадает с направлением движения транспортного средства, а положительное направление момента сил, приложенного двигателем, соответствует направлению против часовой стрелки на рис. 4c.

2 Найдите \(\tau(\theta)\) и ускорение центра масс транспортного средства \(a(\theta)\).

Рассмотрим малые колебания транспортного средства. Предположим, что момент сил \(\tau(\theta)\), создаваемый двигателем, удовлетворяет зависимости, найденной в пункте (2), и все параметры в этой зависимости имеют те же значения, что и в пункте (2). Однако в этом пункте масса стержня становится равной \(M^{\prime}\). При подходящем значении \(M^{\prime}\) угол наклона стержня \(\theta\) (вблизи \(\theta=0\)) и точка C могут совершать малые колебания с одинаковой частотой.

3 Найдите условие, которому должна удовлетворять \(M^{\prime}\) для существования колебаний, и угловую частоту \(\omega\) этих малых колебаний.