1  ^?? Измерьте диаметр струны.

Измерим диаметр струны с помощью микрометра $d=0.24\pm0.01 \ мм$.

2  ^?? Измерьте зависимость силы натяжения, возникающей в струне, от ее удлинения. Измерения проведите таким образом, чтобы максимальная сила натяжения, возникающая в струне, составляла не менее $30~Н$.

Соберем установку, изображенную на рисунке 2. Для этого положим на край стола три линейки. Сверху положим струну. Прижмем струну к линейкам и столу струбцинами, предварительно немного натянув ее. Среднюю линейку установим точно посередине. Измерим расстояние крайними линейками $l=74.4~см$. Закрепим среднюю линейку на столе скотчем. Привяжем к середине струны нить. Другой конец нити прикрепим к крючку динамометра. Будем прикладывать силу к середине струны в перпендикулярном ее начальному положению направлению с помощью динамометра. Измерим зависимость смещения середины нити $x$ от величины приложенной силы $F$.

$F,~Н$	$x, \ см$	$T,~Н$	$\varepsilon\cdot10^3$	$\sigma~МПа$
0.2	0.3	10.8	0.0	239.6
0.4	0.6	10.8	0.1	239.6
0.7	0.9	12.6	0.2	279.5
1.2	1.3	14.4	0.5	317.9
1.7	1.6	17.3	0.8	381.9
2.5	2.0	20.3	1.2	449.2
3.3	2.2	24.4	1.5	539.1
3.5	2.3	24.7	1.6	546.9
3.9	2.4	26.4	1.8	584.0
4.3	2.5	27.6	1.9	611.0
4.6	2.6	28.8	2.1	635.8
5.0	2.7	30.1	2.2	665.5

Для места соединения нити и середины струны можно записать условие равновесия: $$F=2T_x=2T\frac{2x}{l}.\tag{3}$$ Отсюда сила натяжения струны: $$T=\frac{Fl}{4x}.\tag{4}$$ Длина половины струны после растяжения может быть рассчитана как: $$\frac{l'}{2}=\sqrt{\left(\frac{l}{2}\right)^2+x^2}=\frac{l}{2}\sqrt{1+\left(\frac{2x}{l}\right)^2}\approx\frac{l}{2}\left(1+\frac{1}{2}\left(\frac{2x}{l}\right)^2\right).\tag{5}$$ Тогда относительное удлинение струны составит: $$\dfrac{\Delta l}{l} \approx \frac{2x^2}{l^2}.\tag{6}$$

3  ^?? Известно, что механическое напряжение $\sigma = {F}/{S}$, где $S$ – площадь поперечного сечения деформируемого тела, и его продольное относительное удлинение ${\Delta l}/{l}$ связаны законом Гука:$$\sigma = E \cdot \dfrac{\Delta l}{l}.$$ Коэффициент пропорциональности $E$ называется модулем Юнга. Постройте график $\sigma({\Delta l}/{l})$ и определите модуль Юнга материала, из которого изготовлена струна.

Построим график зависимости силы натяжения струны от ее относительного удлинения.

Видно, что экспериментальные точки могут быть описаны линейной функцией с угловым коэффициентом $k= 200~ГПа= E$.

Смещение графика обусловлено наличием начального натяжения струны или ее начального относительного растяжения $\varepsilon_0$.

4  ^?? Является ли полученная зависимость прямой пропорциональностью? Объясните полученный результат.

Измеренная зависимость может быть описана законом Гука в следующем виде:
$$\sigma = E\left(\frac{\Delta l}{l}+\varepsilon_0\right).\tag{7}$$

5  ^?? Измерьте зависимость частоты основного тона колебаний струны в зависимости от ее относительного удлинения. Учтите, что для того, чтобы струна звучала, оба ее конца должны быть зафиксированы твердыми объектами.

Отсоединим динамометр и вновь растянем струну описанным ранее способом. В этот раз прижмем середину струны к центральной линейке. Дернем за струну и услышим звук. Измерим зависимость частоты этого звука от смещения середины струны.

6  ^?? Предложите координаты, в которых график измеренной зависимости будет являться линейной функцией. Постройте график в этих координатах.

Запишем выражение для скорости распространение поперечных волн в струне: $$c=\sqrt{\frac{T}{\rho_l}}=\sqrt{\frac{E(\varepsilon+\varepsilon_0)\frac{\pi d^2}{4}}{\rho\frac{\pi d^2}{4}}}=\sqrt{\frac{E(\varepsilon+\varepsilon_0)}{\rho}}.\tag{8}$$ Тогда связь частоты колебаний и относительного удлинения может быть записана как: $$\frac{l}{2}=\frac{c}{2f}=\sqrt{\frac{E(\varepsilon+\varepsilon_0)}{4f^2\rho}}.\tag{9}$$ Преобразуем уравнение к виду: $$f^2=\frac{E(\varepsilon+\varepsilon_0)}{\rho l^2}=\frac{E\varepsilon_0}{\rho l^2}+\frac{2Ex^2}{\rho l^4}.\tag{10}$$ После преобразований несложно заметить, что измеренная зависимость описывается линейной функцией в координатах $f^2$ от $x^2$ c угловым коэффициентом: $$k'=\frac{2E}{\rho l^4}.\tag{11}$$ Построим график в соответствующих координатах. Он может быть описан линейной функцией с угловым коэффициентом $k'= 1.74 \cdot 10^8 \ Гц^2/м^2$.

7  ^?? Используя построенный график, рассчитайте величину плотности материала, из которого изготовлена струна.

Тогда значение плотности материала, из которого изготовлена струна составляет:
$$\rho=\frac{2E}{k'l^4}=7.6 \ г/см^3.\tag{12}$$