Оборудование: пружина слинки, линейка, весы, штатив с муфтой и лапкой.

Используйте значение ускорения свободного падения $g=9.8~{\rm m/s}^2$.

Часть A. Длины отдельных витков (5 баллов)

A1  ^0.40 Посчитайте общее количество витков $N$ пружины слинки.

A2  ^0.20 Определите массу $M$ всей пружины слинки.

Если подвесить пружинку слинки за один конец, то растяжение ее витков в верхней и нижней части будет отличаться. Пронумеруем витки пружины от верхнего к нижнему и номер витка обозначим $n$. Величиной $L_n$ обозначим расстояние между началом $n$-го витка и концом $n+1$-го витка (то есть длину двух витков — $n$-го и следующего).

A3  ^2.00 Закрепите пружину в лапке штатива за верхний виток. Проведите измерения $L_n (n)$ в максимально широком диапазоне по номеру витка. У вас должно получиться не менее 20 точек.

A4  ^0.60 Постройте график зависимости $L_n$ от $n$.

Перейдём к теоретическому описанию слинки. Пусть $m_0$ — масса одного витка, $k$ — коэффициент жесткости одного витка. По-прежнему будем нумеровать витки пружины сверху вниз. Расстояние между началом и концом $n$-го витка обозначим $l_n$. Рассмотрим систему тел, состоящую из $n$-го витка и всех остальных, которые расположены ниже.

A5  ^0.40 Сделайте рисунок и укажите внешние силы, действующие на указанную систему тел.

Заметим, что в недеформированном состоянии витки пружины вплотную прижаты друг к другу. Поэтому деформацию витка, которая входит в выражение для силы упругости $F_{\text{упр}}=k\Delta l_n \simeq kl_n$, будем считать равной его длине $l_n$.

A6  ^0.40 Используя уравнение равновесия, выразите $l_n$ через $m_0$, $g$, $n$, $N$ и $k$.

В вопросе $A3$ проводились измерения величины $L_n$ длины двух витков — $n$-го и $n+1$-го. Поэтому $L_n=l_n + l_{n+1}$.

A7  ^0.40 Выразите $L_n$ через $m_0$, $g$, $n$, $N$ и $k$.

A8  ^0.60 С помощью построенного в вопросе $A4$ графика, а также результатов измерений в вопросах $A1$ и $A2$, определите коэффициент жесткости $k$ одного витка.

Часть B. Масса пружины слинки (5 баллов)

Если положить пружинку слинки на весы и вертикально поднять ее верхний конец на расстояние $H$, то показания весов уменьшатся.

Сначала включите весы, затем положите на них пружину слинки. Закрепите верхний виток пружины в лапке штатива. Регулируя положение лапки штатива, можно изменять величину $H$.

B1  ^2.20 Изучите зависимость показий весов $m$ от $H$. Проведите не менее 11 измерений.

Исследуем зависимость $m$ от $H$ теоретически. Как и в первой части задачи, пронумеруем витки сверху вниз. Обозначим $l_n$ — деформацию $n$-го витка. Обратите внимание, что во время каждого из экспериментов только часть витков пружины, которые находятся сверху, деформируется. Пусть $X$ — количество витков пружины, которые оказались деформированы. Остальные $N-X$ витков просто лежат на весах.

В таком случае удлинение всей пружины (это и есть величина $H$) можно определить как$$H=\sum_{n=1}^X l_n.$$

Математическая подсказка. Числовую последовательность вида $a$, $a+d$, $\ldots$, $a+(n-1)d$, $\ldots$ называют \textit{арифметической прогрессией}. Каждое число такой последовательности, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа. Общий вид $n$-го члена последовательности $a_n=a_1+(n-1)d$.

Справедлива следующая формула суммы $S_X$ первых $X$ членов арифметической прогрессии$$S_X=\sum_{n=1}^X a_n=\frac{a_1+a_X}{2}\cdot X.$$

B2  ^0.60 Используя результат вопроса $A6$, выразите $H$ через $X$, $m$, $g$, $k$.

Рассмотрим $N-X$ витков, лежащих на весах, в качестве системы тел.

B3  ^0.40 Выполните рисунок и укажите внешние силы, действующие на указанную систему тел. Чему равна сила упругости, действующая на систему?

B4  ^0.40 Выразите показания $m$ весов через $M$, $X$, $m_0$, $g$, $k$.

Подсказка. При решении следующего вопроса можно считать, что количество деформированных витков $X\gg 1$. В таком случае, в частности, $X(X+1)\simeq X^2$.

B5  ^0.40 Используя результаты вопросов $B2$ и $B4$, предложите линеаризацию зависимости $m(H)$.

B6  ^0.60 Постройте линеаризованный график зависимости $m(H)$.

B7  ^0.40 Используя построенный график, определите коэффициент жесткости $k$ одного витка. Сравните полученное значение с найденным ранее.