Pho.rs: Витки весомой пружины

A1 ^0.40 Посчитайте общее количество витков $N$ пружины слинки.

Проведем прямое измерение количества витков три раза. Результаты измерений: $N_1=N_2=N_3=84$. Результаты усредним и получим окончательный ответ.

Ответ: $N=84$

A2 ^0.20 Определите массу $M$ всей пружины слинки.

Выполним прямое однократное измерение массы на весах. Получим ответ.

Ответ: $M=193.3~\text{g}$

A3 ^2.00 Закрепите пружину в лапке штатива за верхний виток. Проведите измерения $L_n (n)$ в максимально широком диапазоне по номеру витка. У вас должно получиться не менее 20 точек.

Ответ:

$n$	$l$, mm	$n$	$l$, mm	$n$	$l$, mm	$n$	$l$, mm	$n$	$l$, mm
2	52	20	41	38	29	56	17	74	6
4	54	22	42	40	28	58	16	76	5
6	50	24	40	42	26	60	14	78	3
8	51	26	40	44	26	62	13	80	2
10	49	28	36	46	25	64	13	82	2
12	47	30	35	48	23	66	12
14	46	32	32	50	22	68	10
16	44	34	30	52	21	70	9
18	43	36	30	54	18	72	7

A4 ^0.60 Постройте график зависимости $L_n$ от $n$.

Ответ:

A5 ^0.40 Сделайте рисунок и укажите внешние силы, действующие на указанную систему тел.

Ответ: Внешние силы, действующие на систему тел: сила тяжести (направлена вниз), сила упругости, действующая на $n$-й виток со стороны оставшейся части пружины (направлена вниз).

A6 ^0.40 Используя уравнение равновесия, выразите $l_n$ через $m_0$, $g$, $n$, $N$ и $k$.

Система тел состоит из $N-(n-1)=N-n+1$ витков. Согласно уравнению равновесия, $kl_n=(N-n+1)mg$, откуда $l_n=(N-n+1)m_0g/k$.

Ответ: $l_n=(N-n+1)m_0g/k$

A7 ^0.40 Выразите $L_n$ через $m_0$, $g$, $n$, $N$ и $k$.

По определению, $L_n=l_n+l_{n+1}=(2N-2n+1)m_0g/k$.

Ответ: $L_n=(2N-2n+1)m_0g/k$

A8 ^0.60 С помощью построенного в вопросе $A4$ графика, а также результатов измерений в вопросах $A1$ и $A2$, определите коэффициент жесткости $k$ одного витка.

Угловой коэффициент графика, исходя из предыдущего вопроса, равен $\alpha=-2m_0g/k$. Значение, найденное по графику, $\alpha=-0.66\text{ mm}$. Таким образом, $$k=\frac{-2m_0g}{\alpha}=\frac{-2Mg}{N\alpha}=68.3 \text{ N/m}.$$

Ответ: $k=68.3 \text{ N/m}$

B1 ^2.20 Изучите зависимость показий весов $m$ от $H$. Проведите не менее 11 измерений.

Ответ:

$l$, mm	$m$, g	$l$, mm	$m$, g	$l$, mm	$m$, g
298	85.6	214	99.9	114	120.6
291	87.0	202	102.1	100	123.9
283	88.2	191	104.4	90	126.6
275	89.8	180	106.5	77	130.5
263	91.8	171	108.2	66	134.2
250	93.3	161	110.1	56	137.4
241	94.9	148	113.0	44	141.7
233	96.5	137	115.3	34	147.4
224	98.1	126	117.9	20	153.5

B2 ^0.60 Используя результат вопроса $A6$, выразите $H$ через $X$, $m$, $g$, $k$.

Воспользуемся формулой, приведённой в условии задачи $$H=\sum_{n=1}^X l_n=\sum_{n=1}^X (X-n+1)\frac{mg}{k} = \frac{X+(X-X+1)}{2}\cdot X\cdot\frac{m_0g}{k}.$$

Ответ: $H=\frac{X(X+1)}{2}\cdot\frac{m_0g}{k}$

B3 ^0.40 Выполните рисунок и укажите внешние силы, действующие на указанную систему тел. Чему равна сила упругости, действующая на систему?

Ответ: Внешние силы, действующие на систему тел: сила тяжести (направлена вниз), сила нормальной реакции опоры со стороны весов (направлена вверх). Сила упругости со стороны оставшейся части пружины равна нулю.

B4 ^0.40 Выразите показания $m$ весов через $M$, $X$, $m_0$, $g$, $k$.

Согласно закону равновесия, $(N-X)m_0g=mg$. Здесь в правой части записана сила нормальной реакции опоры со стороны весов, выраженная через их показания. Таким образом,

Ответ: $m=M-Xm_0$

B5 ^0.40 Используя результаты вопросов $B2$ и $B4$, предложите линеаризацию зависимости $m(H)$.

Исходя из ответа на вопрос B2, $H=\frac{X(X+1)}{2}\cdot\frac{m_0g}{k}\simeq \frac{X^2m_0g}{2k}=\frac{(M-m)^2g}{2m_0k}.$

Поэтому искомая линеаризация $H$ от $(M-m)^2$.

Замечание. Можно также использовать линеаризацию $\sqrt{H}$ от $m$.

Ответ: $H$ от $(M-m)^2$, $\sqrt{H}$ от $m$ или аналогичные.

B6 ^0.60 Постройте линеаризованный график зависимости $m(H)$.

Ответ:

B7 ^0.40 Используя построенный график, определите коэффициент жесткости $k$ одного витка. Сравните полученное значение с найденным ранее.

Угловой коэффициент линеаризованного графика $\beta = 28.4 \frac{\text{mm}}{10^3\text{ g}^2}$. С другой стороны, исходя из вопроса B5, $\beta = \frac{1}{2m_0gk}$. Таким образом, $$k=\frac{Ng}{2M\beta}=75.0\text{ N/m}.$$

Ответ: $k=75.0\text{ N/m}$

Витки весомой пружины

Решение