В конце ХХ века для описания свойств электропроводности полиацетилена была предложена модель Су-Шиффера-Хигера (SSH-цепочка), которая положила начало топологической физике. На концах топологически нетривиальных систем возникают топологически защищенные краевые состояния.
В этой задаче мы рассмотрим LC-контур — простейшую систему, моделирующую молекулу полиацетилена и обладающую топологическими свойствами.
Примечание. Вынимайте провод мама-банан из платы строго вертикально, чтобы не повредить контакты!
Для измерений на плате доступны контакты J5, J2 и GND (см. рис. 1):
Рассмотрим цепочку, состоящую из конденсаторов $C_1$ и $C_2$ ($C_1 < C_2$) и катушек индуктивности $L$. К самому левому звену цепи подключен генератор, который возбуждает в цепи волны напряжения. Будем считать, что отраженной волны нет, бегущая волна распространяется слева направо.
Цепь изображена на рис. 3. Одно звено обозначено красным прямоугольником. Обозначим потенциал узла $A$ на входе в звено $V$, а узла $B$ — $u$. Нижняя ветвь цепочки заземлена.
Представим волну напряжения в комплексном виде
$$V(n,t) = Ve^{-i\omega t+iqn},$$ $$u(n,t) = ue^{-i\omega t+iqn},$$
где $n$ — номер звена цепочки, $\omega$ — круговая частота сигнала, $q$ — волновой вектор. Дисперсионным соотношением называется зависимость $q(\omega)$.
Обратите внимание, что полученные уравнения выполняются как для конечной, так и для бесконечной цепи.
В зависимости от значения аргумента действительная и мнимая часть арккосинуса действительного числа выражается следующим образом
\[
\Re\bigl(\arccos x\bigr)=
\begin{cases}
\arccos x, & |x|\le 1,\\[4pt]
0, & x>1,\\[4pt]
\pi, & x<-1,
\end{cases}
\qquad
\Im\bigl(\arccos x\bigr)=
\begin{cases}
0, & |x|\le 1,\\[4pt]
\mathrm{arcosh} x, & x>1,\\[6pt]
\mathrm{arcosh} x, & x<-1.
\end{cases}
\]
Если вам не удалось выполнить пункт A2, в дальнейшем считайте, что зависимость $\cos{q}$ от $\omega$ имеет вид $$\cos q = 1-\dfrac{A}{\omega^2}+\dfrac{B}{\omega^4}.$$ Положительная мнимая часть волнового вектора отвечает за экспоненциальное затухание амплитуды напряжения от звена к звену, а действительная — за сдвиг фаз амплитуд напряжений звеньев: \[ V_{n+1} = V_n e^{-\mathfrak{I} (q)} e^{i \mathfrak{R} (q)}. \]
Подключите генератор к J2, соединив его землю с контактом GND. С помощью контактов, обозначенных J5, измеряйте напряжение на соответствующих звеньях цепи для определения волнового вектора $q$.
A4 1.50 Измерьте зависимость действительной и мнимой составляющей волнового вектора $\Re(q)$ и $\Im(q)$ от частоты $f$. Опишите методику измерений. Измерения проводите в диапазоне частот от $650~\text{кГц}$ до $1300~\text{кГц}$ с шагом $50~\text{кГц}$. Для каждой частоты $f$ необходимо получить значение и $\Re(q)$, и $\Im(q)$.
Полученные зависимости позволяют получить дисперсионное соотношение для данной цепи. Используя мнимую $\Im(q)$ и действительную $\Re(q)$ части $q$ можно определить $\cos{q}$, который будет являться комплексным числом, определяемым параметрами системы и циклической частотой $\omega$.
\[\cos{q}=\cos{\Re(q)} \cosh{\Im(q)}-i\sin{\Re(q)}\sinh{\Im(q)}.\]Поскольку почти на всем диапазоне измерений либо мнимая, либо действительная часть $q$ равны нулю, мнимой частью $\cos{q}$ далее будем пренебрегать.
В части A задачи мы не учитывали отражённую волну, которая тоже может распространяться в цепи. Однако при больших частотах волна, бегущая от генератора, практически не затухает, поэтому пренебрегать отражённой волной нельзя.
Рассмотрим цепь, которая слева подключена к генератору и имеет $N$ звеньев (см. рис. 5). Обозначим волну, бегущую вправо, индексом $r$ (именно она исследовалась в части A), влево — индексом $l$, тогда напряжения в этих волнах зависит от номера звена $n$ и времени $t$, как
$$V_r(n,t) = V_{0r}e^{-i\omega t+iqn},$$ $$V_l(n,t) = V_{0l}e^{-i\omega t-iqn}.$$ Таким образом, все уравнения, записанные для бегущей вправо волны, аналогичны уравнениям для бегущей влево волны с заменой $q \rightarrow -q$. Токи в каждой из волн (см. рис. 4) связаны с напряжением через импеданс
$$z_r = \frac{V_r(n,t)}{I_r(n,t)},\quad z_l = \frac{V_l(n,t)}{I_l(n,t)}.$$
Полным импедансом цепи называется величина $$z = \frac{V(0,t)}{I(0,t)}.$$
Далее считайте, что $\omega \gg \dfrac{1}{\sqrt{LC_1}}, \dfrac{1}{\sqrt{LC_2}}$.
К контакту GND подключите землю генератора, «плюс» генератора соедините через резистор с контактом J2. На плате вы получите цепь, состоящую из $N$ звеньев, изображенную на рис. 4. Измеряя напряжение на резисторе, вы можете получить силу тока в цепи, измеряя напряжение на контактах J2-GND – напряжение в цепи. Таким образом, можно определить импеданс цепи.
Примечание. Вы можете обратить внимание, что в реальной цепи есть ещё одна катушка, подключенная параллельно звеньям. Однако её существование не влияет на положение максимумов модуля импеданса, поэтому при решении задачи её можно не учитывать.