Pho.rs: Топологический изолятор

A1 ^0.40 Используя правила Кирхгофа, получите систему уравнений, связывающую $V$, $u$ и $q$. Ответ выразите через $V$, $u$, $q$, $L$, $C_1$, $C_2$ и $\omega$.

1 Получено $$(V-u) \cdot i \omega C_1 = (u-Ve^{iq}) \cdot i \omega C_2 + \dfrac{u}{i \omega L}$$	0.20
2 Получено $$(u-Ve^{iq}) \cdot i \omega C_2 = e^{iq}(V-u) \cdot i \omega C_1 + \dfrac{Ve^{iq}}{i \omega L}$$	0.20

A2 ^0.80 Из полученной системы выразите $\cos q $ через $\omega$, $L$, $C_1$ и $C_2$.

1 M1 Из каждого уравнения выражено отношение $\dfrac{u}{V}$	0.30
2 M2 Записана система линейных уравнений на $u$ и $V$. Определитель матрицы коэффициентов перед $V$ и $u$ приравнен к нулю	0.30
3 Записано уравнение, не содержащее комплексных экспонент	0.20
4 $$\cos q = \dfrac{\left( C_1 + C_2 - \dfrac{1}{\omega^2 L} \right)^2-C_1^2-C_2^2}{2 \cdot C_1C_2}$$	0.30

A3 ^0.60 Определите, при каких частотах у волнового вектора $q$ будет мнимая часть. Ответ выразите через $L$, $C_1$ и $C_2$.

1 Выражение для $\cos{q}$ приравнивается к $-1$ и $1$ (или записаны соответствующие неравенства)	2 × 0.05
2 Получены крайние значения диапазонов частот $\dfrac{1}{\sqrt{2(C_1+C_2)L}}$, $\dfrac{1}{\sqrt{2C_2L}}$ и $\dfrac{1}{\sqrt{2C_1L}}$	3 × 0.10
3 Корректный вид полученного диапазона: $\left[0; \omega_1\right)\cup\left(\omega_2; \omega_3\right)$ (строгость границ не имеет значения)	0.20

A4 ^1.50 Измерьте зависимость действительной и мнимой составляющей волнового вектора $\Re(q)$ и $\Im(q)$ от частоты $f$. Опишите методику измерений. Измерения проводите в диапазоне частот от $650~\text{кГц}$ до $1300~\text{кГц}$ с шагом $50~\text{кГц}$. Для каждой частоты $f$ необходимо получить значение и $\Re(q)$, и $\Im(q)$.

1 Описана верная методика измерений $\Im{(q)}$: измеряется по затуханиям амплитуды напряжения между двумя звеньями; и используется верная расчётная формула и знак правильный

0.15

2 Описана верная методика измерений $\Re{(q)}$: измеряется по сдвигу фазы сигналов напряжений двух соседних звеньев на осциллографе; и используется верная расчётная формула и знак правильный

0.15

3 Измерены точки во всем указанном диапазоне: есть и $650$ кГц, и $1300$ кГц

0.08

4

Корректные измерения напряжений $\left(|\Im(q)-\Im(q_{ref})|<0.3\right)$

$f$, кГц	650	700	750	800	850	900	950
$\Im (q)$	2.03	1.38	0.22	0.30	0.66	0.33	0.61
$f$, кГц	1000	1050	1100	1150	1200	1250	1300
$\Im (q)$	0.73	0.73	0.71	0.65	0.53	0.35	0.12

Примечание. Знак не имеет значения

14 × 0.04

5

Корректные измерения сдвига фаз $\left(|\Re(q)-\Re(q_{ref})|<0.3 \pi \right)$

$f$, кГц	650	700	750	800	850	900	950
$\Re (q)$	0.00	0.12	0.81	2.12	2.25	2.73	3.08
$f$, кГц	1000	1050	1100	1150	1200	1250	1300
$\Re (q)$	3.09	3.15	3.11	3.14	3.11	3.09	3.19

Примечание. Знак и сдвиг на $2\pi$ не имеет значения

14 × 0.04

A5 ^1.00 Линеаризуйте зависимость $\Re(\cos{q})$ от частоты генератора $f$ и определите коэффициенты линейной зависимости.

1 Верная линеаризация $(1-\cos{q})\cdot f^2$ от $\dfrac{1}{f^2}$ или аналогичная	0.10
2 Произведен верный пересчет точек линейной зависимости (координаты $x$). Примечание. Не оценивается для некорректных точек и при некорректной линеаризации.	14 × 0.02
3 Произведен верный пересчет точек линейной зависимости (координаты $y$). Примечание. Не оценивается для некорректных точек и при некорректной линеаризации.	14 × 0.02
4 Построен линейный график (оцифровка осей, масштаб, нанесение точек) Примечание. Не оценивается, если хотя бы за один из п. A5-2, A5-3 выставлено 0 баллов (исключение — ошибка в порядке величины)	3 × 0.08
5 Корректно получены коэффициенты линейной зависимости. Примечание. Не оценивается, если хотя бы за один из п. A5-2, A5-3 выставлено 0 баллов (исключение — ошибка в порядке величины)	2 × 0.05

A6 ^0.70 Используя коэффициенты, найденные в A5, определите ёмкости конденсаторов $C_1$ и $C_2$ ($C_1 < C_2$).

1 Используется правильное выражение для углового коэффициента и свободного члена	0.20
2 $C_1\in[0.35; 0.49]~\text{нФ}$	0.25
3 $C_2\in[0.74;1.00]~\text{нФ}$	0.25

B1 ^0.80 Выразите импедансы $z_{r}$ и $z_{l}$ для волн, бегущих вправо и влево. Ответ выразите через $C_1$, $C_2$, $L$, $q$ и $\omega$.

1 Для нахождения импеданса используется система уравнений, записанная в пункте A1	0.10
2 $z_r=\dfrac{V_r(n,t)}{V_r(n,t)-u_r(n,t)}\cdot\dfrac{1}{i\omega C_1}$	0.10
3 Получен ответ $$z_r=\dfrac{C_1+C_2-\dfrac{1}{\omega^2L}}{C_2(1-e^{iq})-\dfrac{1}{\omega^2L}}\cdot\dfrac{1}{i\omega C_1}$$	0.30
4 Получен ответ $$z_l=\dfrac{C_1+C_2-\dfrac{1}{\omega^2L}}{C_2(1-e^{-iq})-\dfrac{1}{\omega^2L}}\cdot\dfrac{1}{i\omega C_1}$$	0.30

B2 ^0.60 Запишите граничное условие, связывающие комплексные амплитуды напряжений $V_r(0,t)$ и $V_l(0,t)$. В ответе получите уравнение, содержащее $V_r(0,t)$, $V_l(0,t)$, $z_{r}$, $z_{l}$, $q$ и $N$.

1 Записано граничное условия для полного тока на правом краю цепи: $I(N,t)=0$ (при использовании $N\pm1$ засчитывается)	0.40
2 $U_l(0,t)=-\dfrac{z_l}{z_r}U_r(0,t)e^{2iqN}$	0.20

B3 ^1.20 Получите выражение для модуля полного импеданса цепи $|z|$, состоящей из $N$ звеньев. Ответ выразите через $N$, $q$ и $|z_r|$.

1 Получено $$z=\dfrac{U_r(0,t)+U_l(0,t)}{\dfrac{U_r(0,t)}{z_r}+\dfrac{U_l(0,t)}{z_l}}$$	0.30
2 Правильно подставлены отношения $\dfrac{U_l(0,t)}{U_r(0,t)}$ и $\dfrac{z_l}{z_r}$	2 × 0.20
3 Верно применено приближение $\omega \gg \dfrac{1}{\sqrt{LC_1}}, \dfrac{1}{\sqrt{LC_2}}$	0.10
4 Ответ $$\|z\|=\|z_r\|\dfrac{\cos{(q(N+\frac{1}{2}))}}{\sin{(qN)}}$$	0.40

B4 ^0.60 Используя результаты, полученные в части A, напишите уравнение на частоты, при которых достигается максимум модуля импеданса. Ответ выразите через $N$, $C_1$, $C_2$, $L$, $\omega$ и целочисленный параметр $m$.

1 $qN=\pi m$	0.30
2 Ответ $$\arccos{\left(\dfrac{1}{2C_1C_2}\left(\dfrac{1}{\omega^2L}-\left(C_1+C_2\right)\right)^2-\left(C_1^2+C_2^2\right)\right)}=\dfrac{\pi m}{N}.$$	0.30

B5 ^1.00 Измерьте частоты, при которых реализуется максимум модуля импеданса. Измерения следует проводить на частотах $1400 ~\text{кГц} < f < 6000~\text{кГц}$, при которых LC-контур переходит в зону проводимости.

1

$n$	$f_{res}~\text{кГц}$	$f_{res,~\min}~\text{кГц}$	$f_{res,~\max}~\text{кГц}$
1	1309	1299	1319
2	1398	1388	1408
3	1469	1459	1479
4	1598	1588	1608
5	1721	1711	1731
6	1921	1901	1941
7	2143	2123	2163
8	2492	2472	2512
9	2916	2896	2936
10	3594	3574	3614
11	4537	4517	4557
12	6267	6237	6297

10 × 0.10

2 Вместо максимумов импеданса измерены минимумы

-0.50

B6 ^0.80 Линеаризуйте зависимость, измеренную в пункте В5, и постройте линеаризованный график, из которого определите количество звеньев в цепи $N$.

1 Используется линеаризация $2\pi-\arccos{\left(\dfrac{1}{2C_1C_2}\left(\dfrac{1}{\omega^2L}-\left(C_1+C_2\right)\right)^2-\left(C_1^2+C_2^2\right)\right)}$ от $n$ (или аналогичная)	0.10
2 Произведен правильный пересчет точек линейной зависимости. Примечание. Не оценивается для некорректных точек и при некорректной линеаризации.	10 × 0.03
3 Построен линейный график (оцифровка осей, масштаб, нанесение точек) Примечание. Не оценивается, если за п. B6-2 выставлено 0 баллов.	3 × 0.08
4 Из данных определено $N = 15 \pm 2$. Примечание. Не оценивается, если за п. B6-2 выставлено 0 баллов.	0.16

Топологический изолятор

Разбалловка