Пусть ось $x$ направлена вниз, а начальное положение центра масс рулона соответствует началу координат. Если скорость центра масс рулона в некоторый момент времени равна $v$, то его кинетическая энергия составляет
\begin{equation*}
E_{k}=\frac{m}{L}(L-x) v^{2} . \tag{1}
\end{equation*}
С другой стороны, потенциальная энергия рулона относительно начального положения равна
\begin{equation*}
E_{p}=-\frac{m}{L} g \frac{x^{2}}{2}-\frac{m}{L} g(L-x) x . \tag{2}
\end{equation*}
В начальный момент времени полная энергия равна нулю, поэтому по закону сохранения
\begin{equation*}
E_{k}+E_{p}=0, \tag{3}
\end{equation*}
откуда получаем зависимость скорости центра масс рулона от координаты
\begin{equation*}
v^{2}(x)=g\left[x+\frac{x^{2}}{2(L-x)}\right] . \tag{4}
\end{equation*}
Ускорение рулона определяется выражением
\begin{equation*}
a(x)=\frac{d v}{d t}=v \frac{d v}{d x}, \tag{5}
\end{equation*}
которое после подстановки (4) дает следующую зависимость
\begin{equation*}
a(x)=\frac{g}{4}\left[1+\frac{L^{2}}{(L-x)^{2}}\right] . \tag{6}
\end{equation*}
Полный импульс рулона направлен вдоль оси $x$ и равен
\begin{equation*}
p=\frac{m}{L}(L-x) v, \tag{7}
\end{equation*}
а значит изменение импульса со временем принимает вид
\begin{equation*}
\frac{d p}{d t}=-\frac{m}{L} v^{2}+\frac{m}{L}(L-x) a . \tag{8}
\end{equation*}
По условию задачи сила, действующая на платформу со стороны рулона, равна силе тяжести, а значит на сам рулон полная внешняя сила равна нулю, откуда получаем
\begin{equation*}
\frac{d p}{d t}=0 . \tag{9}
\end{equation*}
Решая совместно (4), (6), (8) и (9), получаем квадратное уравнение
\begin{equation*}
x+\frac{x^{2}}{2(L-x)}=\frac{1}{2}\left(L+\frac{x^{2}}{2(L-x)}\right), \tag{10}
\end{equation*}
положительный корень которого равен
После подстановки в (4) и (6), соответственно находим