В начальный момент времени $t=0$ конденсатор не заряжен и падения напряжения на подключенных сопротивлениях одинаково, то есть они соединены параллельно, поэтому
\begin{equation*}
\frac{1}{R_{0}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{r}, \tag{1}
\end{equation*}
а показания омметра составляют
\begin{equation*}
R_{0}=R(0)=A-B . \tag{2}
\end{equation*}
В момент времени $t=\infty$ конденсатор полностью заряжен и ток через него не течет, поэтому
\begin{equation*}
R_{\infty}=r \text {, } \tag{3}
\end{equation*}
а показания омметра составляют
\begin{equation*}
R_{\infty}=R(\infty)=A \text {, } \tag{4}
\end{equation*}
Решая совместно (1)-(4), получаем
В произвольный момент времени падение напряжения $U_{r}$ на сопротивлении $r$ равно падению напряжения $U_{R}$ на сопротивлении $R$ и падению напряжения $U_{C}$ на конденсаторе $C$, то есть
\begin{equation*}
U_{r}=U_{R}+U_{C} \tag{7}
\end{equation*}
С дугой стороны по закону Ома
\begin{align*}
& U_{R}=I_{c} R, \tag{8}\\
& U_{r}=I_{r} r, \tag{9}
\end{align*}
где $I_{r}$ - сила тока, протекающего через резистор $r$, а $I_{c}$ - сила тока, протекающего через конденсатор $C$ и сопротивление $R$.
Падение напряжения на конденсаторе равно
\begin{equation*}
U_{C}=\frac{q}{C}. \tag{10}
\end{equation*}
Отметим, что зарядка конденсатора происходит вследствие протекания тока $I_{0}$, генерируемого омметром, то есть
\begin{equation*}
I_{0}=I_{r}+I_{C}, \tag{11}
\end{equation*}
а ток, протекающий через конденсатор, равен производной его заряда по времени
\begin{equation*}
I_{C}=\frac{d q}{d t}. \tag{12}
\end{equation*}
Из уравнений (7)-(12), получаем дифференциальное уравнение для $q$
\begin{equation*}
\frac{d q}{d t}+\frac{q}{\tau_{0}}=I_{0} \frac{r}{R+r}, \tag{13}
\end{equation*}
решение которого дает силу тока через конденсатор
\begin{equation*}
I_{c}=I_{0} \frac{r}{R+r} e^{-t / \tau_{0}} \tag{14}
\end{equation*}
Здесь $\tau_{0}=C(R+r)$.
Таким образом, емкость конденсатора равна
Количество выделяемой на резисторе теплоты определяется законом Джоуля–Ленца и равно
Отметим, что в принципе нет необходимости рассматривать отдельно уравнения (1)-(4), для нахождения неизвестных сопротивлений достаточно найти зависимость $R(t)$, которая имеет вид
\begin{equation*}
R(t)=\frac{U_{r}}{I_{0}}=r-\frac{r^{2}}{R+r} e^{-t / \tau_{0}}. \tag{17}
\end{equation*}