Pho.rs: Паровой двигатель

1 ^?? Определите значение коэффициента $\eta$.

Запишем уравнение адиабатного процесса

\begin{equation*}
P V^{\gamma}=\text { const}. \tag{1}
\end{equation*}

Применяя к процессу $2-3$, получаем

Ответ: \begin{equation*}
\eta=\left(\frac{P_{A}}{P_{0}}\right)^{\frac{1}{\gamma}}=0.177 . \tag{2}
\end{equation*}

2 ^?? Определите необходимое значение температуры пара $T_{0}$ (в градусах Цельсия), чтобы в процессе расширения его температура не опускалась ниже температуры конденсации $t_{S}$.

Для определения начальной температуры уравнение адиабаты надо записать в координатах ( $T, V$ )
\begin{equation*}
T V^{\gamma-1}=\text { const}, \tag{3}
\end{equation*}

которое, повторно применяя к процессу $2-3$, приводит к следующей формуле

Ответ: \begin{equation*}
T_{0}=\frac{T_{S}}{\eta^{\gamma-1}}=390^{\circ} \mathrm{C}. \tag{4}
\end{equation*}

3 ^?? Рассчитайте массу пара $m_{0}$, поступающего в цилиндр за один цикл.

Уравнения состояния идеального газа для точки 2 имеет вид
\begin{equation*}
P_{0} \eta V_{0}=\frac{m_{0}}{M} R T_{0}, \tag{5}
\end{equation*}
которое дает

Ответ: \begin{equation*}
m_{0}=M \frac{P_{0} \eta V_{0}}{R T_{0}}=2.30 \text { г. } \tag{6}
\end{equation*}

4 ^?? Рассчитайте работу $A_{0}$, которую совершает двигатель за один цикл.

На участке $1-2$ работа пара равна
\begin{equation*}
A_{1-2}=P_{0} \eta V_{0}, \tag{7}
\end{equation*}
а на участке $2-3$ работа на адиабате составляет
\begin{equation*}
A_{2-3}=P_{0} V_{0} \frac{\eta-\eta^{\gamma}}{\gamma-1} . \tag{8}
\end{equation*}
На участке $3-4$ работа отрицательна и равна
\begin{equation*}
A_{3-4}=-P_{A} V_{0}, \tag{9}
\end{equation*}
поэтому суммарная работа составляет

Ответ: \begin{equation*}
A_{0}=P_{0} V_{0}\left(\eta+\frac{\eta-\eta^{\gamma}}{\gamma-1}\right)-P_{A} V_{0}=1.25 \cdot 10^{3} \text { Дж. } \tag{10}
\end{equation*}

5 ^?? Выразите среднюю скорость изменения рабочего объема цилиндра $v$ через максимальный рабочий объем $V_{0}$ и угловую скорость вращения махового колеса $\omega$.

Рабочий объем достигает максимального значения за половину оборота махового колеса, поэтому средняя скорость изменения объема равна

Ответ: \begin{equation*}
v=\frac{V_{0}}{\pi / \omega}=\frac{V_{0} \omega}{\pi}. \tag{11}
\end{equation*}

6 ^?? Получите дифференциальное уравнение, описывающее изменение массы газа в цилиндре при открытом входном клапане. В это уравнение помимо искомой функции $m(t)$ должны входить только известные величины.

Установим связь между давлением в цилиндре и массой пара в нем. Для этого запишем уравнение адиабатного процесса
\begin{equation*}
P_{0} V_{i n}^{\gamma}=P V^{\gamma},\tag{12}
\end{equation*}
где $V_{i n}$ - объем, который занимал пар в генераторе, до того, как он поступил в рабочий цилиндр. Для него справедливо уравнение состояния
\begin{equation*}
P_{0} V_{i n}=\frac{m}{M} R T_{0},\tag{13}
\end{equation*}
Тогда давление в цилиндре выражается через массу пара в нем из уравнения адиабатного процесса (12) и уравнения состояния (13) в виде
\begin{equation*}
P=P_{0}\left(\frac{R T_{0}}{M P_{0}} \frac{m}{v t}\right)^{\gamma},\tag{14}
\end{equation*}
где $V=v t-$ изменяющийся рабочий объем.

С учетом заданного в условии уравнения, получаем искомое уравнение для массы пара в цилиндре имеет вид

Ответ: \begin{equation*}
\frac{d m}{d t}=K\left(P_{0}-P\right)=K P_{0}\left(1-\left(\frac{R T_{0}}{M P_{0}} \frac{m}{v t}\right)^{\gamma}\right).\tag{15}
\end{equation*}

7 ^?? Покажите, что при постоянной скорости движения поршня давление пара $P$ в цилиндре остается постоянным.

Ответ: Решением уравнения (15), очевидно, является линейная функция
\begin{equation*}
m \propto t, \tag{16}
\end{equation*}
а значит в соответствии с формулой (14) давление пара в цилиндре остается постоянным.

8 ^?? Получите алгебраическое уравнение для определения давления пара $P$ в цилиндре на этапе цикла 1-2.

В соответствии с (15) масса газа растет по линейному закону

\begin{equation*}
m=K\left(P_{0}-P\right) t, \tag{17}
\end{equation*}

поэтому из уравнения (15) и соотношения $V=v t$ получаем, что давление газа должно удовлетворять уравнению

Ответ: \begin{equation*}
P=P_{0}\left(\frac{R T_{0}}{M P_{0}} \frac{\pi K\left(P_{0}-P\right)}{V_{0} \omega}\right)^{\gamma}. \tag{18}
\end{equation*}

9 ^?? Используя указанное приближение, выразите давление пара в цилиндре $P$ на этапе цикла $1-2$ через давление $P_{0}$ и другие известные параметры задачи.

Теперь используем приближение $\gamma \approx 1$, что позволяет получить формулу для давления в явном виде

Ответ: \begin{equation*}
P=\frac{P_{0}}{1+\frac{M V_{0} \omega}{\pi K R T_{0}}}. \tag{19}
\end{equation*}

10 ^?? Рассчитайте численное значения давления $P$ при угловой скорости вращения вала $\omega= 10.0 \mathrm{c}^{-1}$.

Численное значение давления при указанных параметрах равно

Ответ: \begin{equation*}
P=9.10 \cdot 10^{5} \text { Па. } \tag{20}
\end{equation*}

11 ^?? Покажите, что формула для расчета работы $A$, совершаемой двигателем за один цикл при вращении махового колеса с постоянной угловой скоростью $\omega$, может быть представлена в виде $A=\frac{A_{0}}{1+\beta \frac{\omega}{K}}$. Рассчитайте численные значения параметров $A_{0}$ и $\beta$ в этой формуле.

Работа, совершаемая двигателем за один цикл, может быть рассчитана по формуле (10), в которой давление $P_{0}$ следует заменить на значение $P$, определяемое формулой (19), что приводит к следующему выражению

\begin{equation*}
A=P_{0} V_{0} \frac{\eta+\frac{\eta-\eta \gamma}{\gamma-1}}{1+\frac{M V_{0} \omega}{\pi K R T_{0}}}. \tag{21}
\end{equation*}

Таким образом, параметры этой формулы равны

Ответ: \begin{align*}
& A_{0}=P_{0} V_{0}\left(\eta+\frac{\eta-\eta^{\gamma}}{\gamma-1}\right)=1.44 \cdot 10^{3} \text { Дж, } \tag{22}\\
& \beta=\frac{M V_{0}}{\pi R T_{0}}=4.16 \cdot 10^{-9} \mathrm{M} \cdot \mathrm{c}^{2} . \tag{23}
\end{align*}

12 ^?? Выразите среднюю установившуюся скорость вращения колеса $\omega$ через момент силы $M_{0}$, коэффициент $K$ и параметры $A_{0}$ и $\beta$.

В установившемся режиме работа пара за цикл равна работе, совершаемой над рабочим устройством
\begin{equation*}
\frac{A_{0}}{1+\beta \frac{\omega}{K}}=2 \pi M_{0}, \tag{24}
\end{equation*}
Отсюда следует, что средняя угловая скорость установившегося движения равна

Ответ: \begin{equation*}
\omega=\frac{K}{\beta}\left(\frac{A_{0}}{2 \pi M_{0}}-1\right). \tag{25}
\end{equation*}

13 ^?? Рассчитайте максимальный момент силы $M_{0}$, при котором двигатель может работать.

Из формулы (25) следует, что максимальный момент равен

Ответ: \begin{equation*}
M_{0 \max }=\frac{A_{0}}{2 \pi}=230 \mathrm{H} \cdot \mathrm{M} . \tag{26}
\end{equation*}

14 ^?? Постройте схематический график зависимости угловой скорости вращения от момента силы $M_{0}$.

Схематический график зависимости показан на рисунке ниже.

Ответ:

15 ^?? Найдите зависимость угла отклонения шариков от вертикали $\theta$ от постоянной угловой скорости вращения $\omega$ регулятора.

Проще данную часть задачи решать во вращающейся системе отсчета. В состоянии равновесия момент силы тяжести уравновешивается моментом центробежной силы
\begin{equation*}
m g l \sin \theta=m \omega^{2} l^{2} \sin \theta \cos \theta . \tag{27}
\end{equation*}
Отсюда следует, что угол отклонения определяется формулой

Ответ: \[
\begin{array}{ll}
\cos \theta=1, & \omega<\sqrt{\frac{g}{l}}, \\
\cos \theta=\frac{g}{\omega^{2} l}, & \omega \geq \sqrt{\frac{g}{l}}. \tag{29}
\end{array}
\]

16 ^?? Постройте схематический график зависимости коэффициента $K$ от угловой скорости вращения регулятора $\omega$.

График зависимости показан на рисунке ниже.

Ответ:

17 ^?? Найдите зависимость установившейся скорости вращения вала двигателя от момента силы $M_{0}$ с описанной системой регулирования.

Учитывая, что $K=K_{0} \cos \theta$ и принимая во внимание (19), получаем после подстановки в (25)

Ответ: \begin{equation*}
\omega=\sqrt[3]{\frac{K_{0} g}{\beta l}\left(\frac{A_{0}}{2 \pi M_{0}}-1\right)} . \tag{30}
\end{equation*}

18 ^?? Постройте схематический график полученной зависимости.

Схематический график зависимости показан на рисунке ниже.

Ответ: