Магнитный момент

Магнитный момент $\vec{m}$ плоского контура с током – это векторная величина, определяемая как произведение силы тока $I$, площади контура $S$ и единичного вектора нормали $\vec{n}$, перпендикулярного плоскости контура:$$
\vec{m}=I S \vec{n} .
$$Направление вектора магнитного момента устанавливается по правилу буравчика: если вращать ручку буравчика в направлении тока в контуре, то поступательное движение буравчика покажет направление $\vec{m}$.

3.1  ^0.80 По круговому витку радиуса $R$ протекает электрический ток, при этом виток обладает магнитным моментом $\vec{m}$. Найдите индукцию магнитного поля $\vec{B}_{0}$ в центре витка.

3.2  ^0.60 Тот же виток помещается во внешнее однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$ так, что вектор магнитного момента составляет угол $\varphi$ с направлением $\vec{B}$. Найдите модуль механического момента сил $\vec{M}$, действующего на виток со стороны внешнего магнитного поля.

3.3  ^0.40 Виток медленно поворачивается во внешнем однородном магнитном поле $B$ так, что направление его магнитного момента $\vec{m}$ изменяется от положения, когда $\vec{m}$ направлен по полю ($\vec{m} \uparrow \uparrow \vec{B}$), до положения, когда $\vec{m}$ направлен против поля ($\vec{m} \uparrow \downarrow \vec{B}$). Найдите механическую работу $A$ сил со стороны магнитного поля при таком повороте.

Электронный парамагнитный резонанс

Если заряженная частица вращается или движется по замкнутой траектории, то у неё имеется механический момент, а вместе с ним возникает и магнитный момент. При этом выполняется универсальное гиромагнитное отношение, которое показывает, как связаны между собой магнитный и механический момент частицы.

Пусть электрон в атоме движется по круговой орбите так, что его орбитальный момент импульса относительно центра равен $\vec{L}$. Такое движение можно рассматривать как эквивалент кругового электрического тока, который обладает магнитным моментом $\vec{m}$. Между магнитным моментом и моментом импульса выполняется гиромагнитное соотношение $$ \vec{m}=-g_{L} \frac{e}{2 m_{e}} \vec{L} $$ где $e$ – элементарный заряд, $m_{e}$ – масса электрона, а $g_{L}$ – так называемый множитель Ландэ.

3.4  ^1.00 Найдите множитель Ландэ $g_{L}$ для кругового орбитального движения электрона.

Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР) – это явление, при котором вещество с неспаренными электронами поглощает электромагнитное излучение (обычно СВЧ-диапазона), если оно находится в постоянном магнитном поле. Такое поглощение происходит не всегда, а только при строго определенной частоте, поэтому его называют резонансным.

Представим, что атом содержит во внешней оболочке один неспаренный электрон с нулевым орбитальным моментом. У такого электрона есть собственный момент вращения - спин. Когда образец с веществом помещается в постоянное магнитное поле соленоида с индукцией $B$, то относительно него спин может ориентироваться двумя способами: вдоль направления магнитного поля с проекцией момента импульса $+\hbar / 2$, или против него с проекцией $-\hbar / 2$. Эти два положения обладают разной энергией, поэтому между ними возможен переход. В дальнейшем считайте, что множитель Ландэ для спина $g_{s}$ в два раза больше, чем для орбитального движения электрона. Образец облучают электромагнитной волной с фиксированной круговой частотой $\omega$, которая может заставить электрон переходить между двумя состояниями с разными проекциями спина, а затем медленно меняют величину индукции внешнего магнитного поля, фиксируя изменение интенсивности поглощения электромагнитных волн.

3.5  ^1.00 Найдите частоту внешнего электромагнитного излучения $\omega$ и рассчитайте ее численное значение, если максимум поглощения пришелся на индукцию магнитного поля $B_{0}=350~мТл$.

Теперь атомы того же типа внедрены в неизвестное вещество, из которого изготовлен сердечник для соленоида.

3.6  ^0.80 Указанное в предыдущем пункте магнитное поле достигалось при силе тока в обмотке соленоида $I_{0}=1.50 {~А}$. Определите новое значение силы тока $I$ в обмотке соленоида для резонансного поглощения, если магнитная проницаемость неизвестного вещества равна $\mu=1.25$.

Термодинамическое равновесие

Пусть сердечник, помещенный в тоже самое магнитное поле, находится в состоянии термодинамического равновесия при температуре $T=50~К$, а полное число внедренных атомов составляет $N= 1.00 \cdot 10^{20}$. Обозначим через $n_{0}$ разность между количеством атомов, находящихся на нижнем $N_{1}$ и верхнем $N_{2}$ энергетических уровнях.

3.7  ^1.00 Рассчитайте $n_{0}$ при заданных условиях.

При взаимодействии электромагнитного поля с веществом происходят три процесса:

1. Поглощение – атом с более низкого энергетического уровня $E_{1}$ переходит на более высокий уровень $E_{2}$ с поглощением фотона, при этом количество переходов с нижнего уровня в единицу времени определяется выражением:$$\frac{d N_{1}}{d t}=-B_{12} \rho N_{1},$$где $\rho$ – плотность электромагнитного излучения;
2. Вынужденное излучение – под действием внешнего фотона атом с более высокого энергетического уровня $E_{2}$ переходит на более низкий уровень $E_{1}$ с излучением другого фотона, при этом количество переходов с верхнего уровня в единицу времени определяется выражением:$$\frac{d N_{2}}{d t}=-B_{21} \rho N_{2}$$
3. Спонтанный переход – самопроизвольный переход атома с верхнего на нижний уровень с испусканием фотона, при этом количество переходов с верхнего уровня в единицу времени определяется выражением:$$\frac{d N_{2}}{d t}=-A_{21} N_{2}$$Константы $B_{12}, B_{21}, A_{21}$ называются коэффициентами Эйнштейна. Планк показал, что в состоянии термодинамического равновесия плотность энергии равновесного электромагнитного излучения описывается формулой:$$ \rho=\frac{2 \hbar \omega^{3}}{\pi \mathrm{c}^{3}} \frac{1}{\exp \left(-\frac{\hbar \omega}{k_{B} T}\right)-1} $$

3.8  ^1.00 Докажите, что $B_{12}=B_{21}$.

Наличие внешнего источника микроволнового поля

В начальный момент времени система находится в термодинамическом равновесии при указанной выше температуре. Затем включается источник микроволнового излучения таким образом, чтобы плотность электромагнитного излучения $\rho$ в образце оставалась постоянной во времени, а ее величина такова, что спонтанными переходами в системе можно пренебречь.

3.9  ^0.60 Найдите аналитическую зависимость разности $n(t)$ между количеством атомов, находящихся на нижнем и верхнем энергетических уровнях, в зависимости от времени $t$, считая, что $k=B_{12} \rho$.

3.10  ^0.80 Известно, что разность между количеством атомов, находящихся на нижнем и верхнем энергетических уровнях, через время $\tau=1.00$ с после включения источника изменилась ровно в 2 раза. Рассчитайте при данных условиях мощность микроволнового источника излучения в начальный момент времени.

В действительности поглощение и вынужденное излучение не являются единственными процессами, в результате которых электрон, находящийся на верхнем уровне, теряет свою избыточную энергию. Большую роль играют процессы релаксации, в результате которых избыток энергии передается окружающему веществу, ведь именно благодаря им осуществляется равновесное распределение по энергетическим уровням.

Процесс релаксации для уровня 1 выглядит как непрерывные переходы с уровня 1 на уровень 2 и обратно, тоже самое справедливо для уровня 2. При этом члены, описывающие релаксацию для уровня 1, записываются через константы $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ следующим образом$$\frac{d N_{1}}{d t}=-\alpha_{1} N_{1}+\alpha_{2} N_{2}$$а, следовательно, аналогичное соотношение можно записать и для уровня 2.

3.11  ^2.00 Пусть для данного вещества $\alpha_{1}+\alpha_{2}=0.670 \cdot 10^{-3} ~с^{-1}$. Рассчитайте при данных условиях мощность микроволнового источника излучения в установившемся режиме измерения спектра методом электронного парамагнитного резонанса.