Площадь кругового витка радиуса $R$ равна \begin{equation*} S=\pi R^{2} \tag{1} \end{equation*} и при протекании по нему тока $I$ модуль его магнитного момента равен \begin{equation*} m=I \pi R^{2} . \tag{2} \end{equation*} Магнитная индукция в центре кругового витка определяется выражением \begin{equation*} B_{0}=\frac{\mu_{0} I}{2 R}, \tag{3} \end{equation*} откуда следует, что \begin{equation*} \vec{B}_{0}=\frac{\mu_{0} \vec{m}}{2 \pi R^{3}}. \tag{4} \end{equation*}

Если $\vec{B}$ лежит в плоскости витка, то, анализируя пары сил Ампера, действующих на противоположные относительно вектора индукции магнитного поля элементы витка, можно показать, что модуль суммарного момента сил составляет \begin{equation*} M=m B . \tag{5} \end{equation*} В общем случае магнитный момент $\vec{m}$ образует с полем угол $\varphi$. Разложим $\vec{B}$ на составляющие: одну в плоскости витка, а другую перпендикулярную ей. Очевидно, что перпендикулярная составляющая не создает момента сил, вызывая растяжение или сжатие витка, а так как проекция вектора $B$ на плоскость витка составляет \begin{equation*} B_{\|}=B \sin \varphi, \tag{6} \end{equation*} то модуль результирующего момента сил Ампера равен \begin{equation*} M=m B \sin \varphi .\tag{7} \end{equation*}

Элементарная работа $d A$ при малом повороте витка на угол $d \varphi$ равна \begin{equation*} d A=M d \varphi .\tag{8} \end{equation*} При повороте витка от состояния, когда $\vec{m} \uparrow \uparrow \vec{B}$, до положения $\vec{m} \uparrow \downarrow \vec{B}$, угол изменяется от 0 до $\pi$, а полная работа определяется интегралом \begin{equation*} A=\int_{0}^{\pi} M d \varphi=2 m B .\tag{9} \end{equation*}

Пусть электрон вращается по круговой орбите радиуса $R$ с периодом $T$, тогда его движение можно представить как круговой ток силой \begin{equation*} I=\frac{e}{T}\tag{10} \end{equation*} и магнитным моментом \begin{equation*} m=I \pi R^{2} . \tag{11} \end{equation*} Момент импульса электрона при движении по круговой траектории со скоростью $v$ равен \begin{equation*} L=m_{e} v R ,\tag{12} \end{equation*} откуда, принимая во внимание выражение для периода обращения \begin{equation*} T=\frac{2 \pi R}{v}, \tag{13} \end{equation*} получаем \begin{equation*} g_{L}=1 . \tag{14} \end{equation*} В векторном соотношении между магнитным и механическим моментами необходимо учитывать знак в силу отрицательности заряда электрона.

Согласно п. 3.3 для переворота спина необходимо совершить работу (9), что вместе с формулой в условии для магнитного момента дает \begin{equation*} A=g_{s} B_{0} \frac{\mathrm{e} \hbar}{2 m_{e}}, \tag{15} \end{equation*} которая совершается за счет энергии фотона \begin{equation*} E=\hbar \omega, \tag{16} \end{equation*} то есть выполняется закон сохранения энергии \begin{equation*} E=A . \tag{17} \end{equation*} Таким образом, используя $g_{s}=2 g_{L}=2$, получаем \begin{equation*} \omega=\frac{\mathrm{e} B_{0}}{m_{e}}=6.15 \cdot 10^{10}  {с}^{-1} \tag{18} \end{equation*} что равно так называемой Ларморовской циклической частоте вращения электрона в магнитном поле.

В отсутствие сердечника магнитное поле в соленоиде пропорционально силе тока, то есть \begin{equation*} B_{0} \propto I_{0}, \tag{19} \end{equation*} а при наличии сердечника магнитное поле также пропорционально магнитной проницаемости вещества \begin{equation*} B \propto \mu I . \tag{20} \end{equation*} Резонанс наступает при одинаковой величине магнитной индукции, поэтому \begin{equation*} I=\frac{I_{0}}{\mu}=1.2 { А} . \tag{21} \end{equation*}

В состоянии термодинамического равновесия распределение электронов в атоме по энергетическим уровням подчиняется распределению Больцмана, поэтому \begin{equation*} \frac{N_{2}}{N_{1}}=\exp \left(-\frac{\hbar \omega}{k_{B} T}\right), \tag{22} \end{equation*} а с другой стороны полное число атомов известно и равно \begin{equation*} N=N_{1}+N_{2} . \tag{23} \end{equation*} Таким образом, из (22) и (23) получаем при условии $\hbar \omega \ll k_{B} T$ \begin{equation*} n_{0}=\frac{\hbar \omega}{2 k_{B} T} N=4.68 \cdot 10^{17} . \tag{24} \end{equation*}

В состоянии термодинамического равновесия скорости переходов вверх и вниз должны быть одинаковы, так как количество атомов на энергетических уровнях изменяться не должно, в частности для нижнего уровня имеем \begin{equation*} \frac{d N_{1}}{d t}=-B_{12} \rho N_{1}+A_{21} N_{2}+B_{21} \rho N_{2}=0, \tag{25} \end{equation*} откуда для плотности энергии электромагнитного излучения получаем \begin{equation*} \rho=\frac{A_{21}}{B_{21}\left(\frac{N_{1} B_{12}}{N_{2} B_{21}}-1\right)}. \tag{26} \end{equation*} Учитывая соотношение (22) и сравнивая с формулой Планка, заключаем, что \begin{equation*} B_{12}=B_{21} . \tag{27} \end{equation*}

С учетом равенства коэффициентов Эйнштейна и пренебрежения спонтанными переходами, уравнение (25) переписывается в виде \begin{equation*} \frac{d N_{1}}{d t}=-k N_{1}+k N_{2}, \tag{28} \end{equation*} которое с учетом (23) дает \begin{equation*} \frac{d n}{d t}=-2 k n . \tag{29} \end{equation*} Используя начальное условие $n(0)=n_{0}$, получаем решение уравнения (29) в виде \begin{equation*} n(t)=n_{0} \exp (-2 k t) . \tag{30} \end{equation*} Интересно отметить, что под действием внешнего источника переменного поля с течением времени разность в количестве атомов на двух уровнях падает до нуля.

Из формулы (30) следует, что \begin{equation*} k=\frac{\ln 2}{2 \tau}. \tag{31} \end{equation*} Так как при переходе каждого атома с нижнего уровня на верхний поглощается один квант энергии переменного поля $\hbar \omega$, а при каждом обратном переходе такая же энергия выделяется, то выражение, описывающее поглощение энергии $E$ переменного поля в сердечнике имеет вид \begin{equation*} \frac{d E}{d t}=k n \hbar \omega, \tag{32} \end{equation*} а это означает, что в начальный момент времени мощность источника равна \begin{equation*} P=\frac{d E}{d t}(0)=\frac{n_{0} \hbar \omega \ln 2}{2 \tau}=1.05  {мВт}. \tag{33} \end{equation*}

Рассмотрим случай отсутствия внешнего поля, тогда приведенное в условии уравнение для уровня 1 переписывается в виде \begin{equation*} \frac{d n}{d t}=N\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right)-n\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right) . \tag{34} \end{equation*} Поскольку уравнение (34) должно включать в себя условие термодинамического равновесия, то при обращении слева производной в ноль равновесная концентрация должна быть равна $n_{0}$, откуда следует, что \begin{equation*} N=n_{0} \frac{\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)}{\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right)}. \tag{35} \end{equation*} Подставляя (35) в (34) и добавляя член из (29), получаем уравнение для с учетом наличия переменного поля \begin{equation*} \frac{d n}{d t}=-2 k n-\left(n-n_{0}\right)\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right) . \tag{36} \end{equation*} Так как требуется определить мощность источника в стационарном режиме, то и разность в числе атомов на нижнем и верхнем уровне должна быть постоянной, то есть $d n / d t=0$, откуда следует \begin{equation*} n=\frac{n_{0}}{1+\frac{2 k}{\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)}} .\tag{37} \end{equation*} Мощность источника по-прежнему определяется уравнением (42) и с учетом того, что $2 k \gg \left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)$, окончательно получаем \begin{equation*} P=\frac{1}{2} n_{0} \hbar \omega\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)=1.01 \text { мкВт. } \tag{38} \end{equation*} Обратите внимание, что в отличие от 3.10 мощность источника не зависит от плотности энергии электромагнитного поля, это так называемый режим насыщения.