Суммарная масса машины без колёс $M$ распределена равномерно между двумя осями автомобиля. Масса каждого из колёс равна $m$, длина стороны квадрата $2a$.

Часть А. Энергия движения. (2.5 балла)

A1  ^1.00 Определите момент инерции одного колеса относительно оси, проходящей через центр квадратных сторон. Выразите ответ через $a$ и $m$.

Автомобиль начинает движение с "пика" на дороге с горизонтальной скоростью $v_0$.

A2  ^0.50

Определите кинетическую энергию автомобиля и угловую скорость колёс на "пике" дороги $\omega_T$. Выразите ответы через $a$,$m$, $M$ и $v_0$.

Так как диссипативные силы на автомобиль не действуют, а его центр масс не двигается по вертикали, то кинетическая энергия всего автомобиля сохраняется в течение всего движения. Однако точка касания колеса и дороги не постоянна, а соответственно изменяется момент инерции колес и их угловая скорость.

A3  ^1.00

Пользуясь законом сохранения энергии получите угловую скорость колёс на "впадине" дороги $\omega_V$. Выразите ответы через $a$,$m$, $M$ и $v_0$.

Часть B. Форма дороги. (4.5 балла)

На картинке выше изображено движение колеса вдоль дороги. Дорога состоит из повторяющихся бугров определенной формы. $AB$ — грань квадратной стороны колеса. $T$ — точка касания колеса и дороги. $G$ — центр колеса. $A^\prime, B^\prime, T^\prime, G^\prime$ — тоже самое, но для другого положения колеса. $x_s$ и $x_d$ — координаты крайних точек одного бугра. Далее вам предстоит определить аналитически форму дороги $y(x)$. 

B1  ^1.00 Запишите уравнение, связывающее координату $y(x)$ поверхности дороги и её угол наклона к горизонту $\alpha$.

Точными вычислениями определяется, что уравнение формы дороги имеет вид: \[ y(x) = k - h \cdot \dfrac{e^{x/a}+e^{-x/a}}{2}, \] где $k$ и $h$ — параметры, зависящие только от a.

B2  ^1.00 Пользуясь формулой для формы дороги, выразите коэффициент угла наклона дороги $\tan \alpha$ через $k$,$h$,$a$,$x$

B3  ^2.00 Подставьте формулу для формы дороги $y(x)$ и коэффициент угла наклона дороги $\tan \alpha (x)$ в уравнение, полученное в пункте B1. Определите значения параметров $k$ и $h$. Выразите их через $a$ и численные коэффициенты.

B4  ^0.50 Определите длину (по горизонтали) одного бугра дороги $d$.

Часть C. Произвольный момент времени. (3 балла)

Зная уравнение формы дороги, можно определить радиус вращения колеса в каждый момент времени, а соответственно момент инерции колеса. Далее, пользуясь формулой $y(x)$ и законом сохранения энергии, определите:

C1  ^1.50 Угловую скорость вращения колеса в зависимости от координаты на дороге $\omega(x)$ . Выразите ответы через $a$,$m$, $M$ и $v_0$.

C2  ^1.50 Горизонтальную скорость машины в зависимости от координаты на дороге $v(x)$. Выразите ответы через $a$,$m$, $M$ и $v_0$.