Pho.rs: Hot wheels

A1 ^1.00 Определите момент инерции одного колеса относительно оси, проходящей через центр квадратных сторон. Выразите ответ через $a$ и $m$.

1 Записана формула момента инерции произвольного тела \[ I = \sum m_i r_i^2\]или \[ I = \int r^2 dm \]	0.25
2 Предложено рассмотреть квадрат как сумму стержней, либо введена поверхностная плотность для интегрирования	0.25
3 Получен момент инерции \[ \dfrac{2ma^2}{3} \]	0.50

A2 ^0.50

Определите кинетическую энергию автомобиля и угловую скорость колёс на "пике" дороги $\omega_T$. Выразите ответы через $a$,$m$, $M$ и $v_0$.

1 Записана связь угловой скорости колёс и скорости автомобиля \[ v = \omega\cdot r \]	0.10
2 Получена угловая скорость колёс на пике \[ \omega_T = \dfrac{v_0}{a} \]	0.10
3 Записана теорема Кёнига \[ E_{\text{kin}} = E_{\text{translate}} + E_{\text{rotate}} \]	0.10
4 Получена кинетическая энергия автомобиля \[ E_{\text{kin}} = \dfrac{3M + 10m}{6} \cdot v_0^2\]	0.20

A3 ^1.00

Пользуясь законом сохранения энергии получите угловую скорость колёс на "впадине" дороги $\omega_V$. Выразите ответы через $a$,$m$, $M$ и $v_0$.

1 Определено расстояние от оси колёс до точки контакта с дорогой на "впадине" дороги \[ r = \sqrt{2} a \]	0.20
2 Получено выражение для кинетической энергии всего автомобиля через угловую скорость колёс и расстояние от оси до дороги	0.40
3 Записано, что кинетическая энергия автомобиля на "впадине" дороги равна кинетической энергии автомобиля на "пике"	0.20
4 Определена угловая скорость автомобиля на "впадине" дороги \[ \omega_V = \dfrac{v_0}{a}\sqrt{\dfrac{3M+10m}{6M+16m}}\]	0.20

B1 ^1.00 Запишите уравнение, связывающее координату $y(x)$ поверхности дороги и её угол наклона к горизонту $\alpha$.

1 Записано, что расстояние $G^\prime O^\prime$ постоянно и равно расстоянию $GO$	0.20
2 Записано $G^\prime O^\prime = G^\prime T^\prime + T^\prime O^\prime$	0.20
3 Записано $G^\prime T^\prime = \dfrac{a}{\cos \alpha}$	0.20
4 Записано $T^\prime O^\prime = y(x)$	0.20
5 Получен ответ \[ \sqrt{2}a = \dfrac{a}{\cos \alpha} + y(x) \]	0.20

B2 ^1.00 Пользуясь формулой для формы дороги, выразите коэффициент угла наклона дороги $\tan \alpha$ через $k$,$h$,$a$,$x$

1 Записано, что \[ \tan \alpha = -y^\prime(x),\]	0.30
2 Продифференцировано уравнение на форму дороги \[ y^\prime(x) = -\dfrac{h}{2a} (e^{x/a}-e^{-x/a})\]	0.40
3 Получен ответ \[ \tan \alpha = \dfrac{h}{2a} (e^{x/a}-e^{-x/a})\]	0.30

B3 ^2.00 Подставьте формулу для формы дороги $y(x)$ и коэффициент угла наклона дороги $\tan \alpha (x)$ в уравнение, полученное в пункте B1. Определите значения параметров $k$ и $h$. Выразите их через $a$ и численные коэффициенты.

1 Записано, что \[ \cos \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \alpha}}\]	0.30
2 Выражение тангенса угла наклона подставлено в формулу для формы дороги \[ \sqrt{2}a = a\sqrt{1+(\dfrac{h}{2a} (e^{x/a}-e^{-x/a}))^2} + k - h\cdot\dfrac{e^{x/a}+e^{-x/a}}{2},\]	0.30
3 Рассмотрен случай $x=0$ и получена связь $k$ и $h$ \[ \dfrac{k-h}{a} = \sqrt{2}-1 \]	0.50
4 Одна из двух переменных $k$ или $h$ выражена через другую и подставлена в общее уравнение	0.40
5 Получен ответ \[ k = \sqrt{2}a \]	0.25
6 Получен ответ \[ h = a \]	0.25

B4 ^0.50 Определите длину (по горизонтали) одного бугра дороги $d$.

1 Указано, что на "впадинах" дороги $y=0$	0.10
2 Записано уравнение на $x$ при $y=0$	0.10
3 Решено уравнение и получен положительный корень \[ x_d = a\log(\sqrt{2}+1) \]	0.10
4 Указано, что \[ x_s = -x_d = -a\log(\sqrt{2}+1) \]	0.10
5 Получен ответ \[ d = x_d - x_s = 2a\log(\sqrt{2}+1) \]	0.10

C1 ^1.50 Угловую скорость вращения колеса в зависимости от координаты на дороге $\omega(x)$ . Выразите ответы через $a$,$m$, $M$ и $v_0$.

1 Уравнение для формы дороги подставлено в выражение для кинетической энергии через $r$	0.50
2 Уравнение решено и получен ответ для $\omega(x)$	1.00

C2 ^1.50 Горизонтальную скорость машины в зависимости от координаты на дороге $v(x)$. Выразите ответы через $a$,$m$, $M$ и $v_0$.

1 Уравнение решено и получен ответ для $v(x)$

1.50

Hot wheels

Разбалловка