Введем поверхностную плотность колеса $\rho$:
\[ \rho = \dfrac{m}{4a^2}, \]тогда момент инерции колеса вычисляется по формуле:
\[ I = \int r^2 \cdot dm = \int r^2 \cdot\rho \cdot dS = \iint r^2 \cdot\rho \cdot dxdy = \rho \iint (x^2+y^2) \cdot dx dy, \]рассмотрим интеграл:
\[ \iint (x^2+y^2)\cdot dx dy = \int_{-a}^a dx \int_{-a}^{a} (x^2+y^2)\cdot dy\]Вычислим интегралы по $dx$ и по $dy$ по отдельности.
\[ \int_{-a}^{a} (x^2+y^2) dy = \Big(x^2y+\dfrac{y^3}{3}\Big) \Big|_{-a}^{a} = 2ax^2+2\dfrac{a^3}{3}\]\[ \int_{-a}^{a} \Big(2ax^2+2\dfrac{a^3}{3}\Big) dx = \Big(2a\dfrac{x^3}{3}+2\dfrac{a^3}{3}x\Big) \Big|_{-a}^{a} = 8\dfrac{a^4}{3}\]Тогда

Альтернативно, можно использовать формулу для момента инерции стержня. Тогда квадрат можно рассмотреть как систему стержней и получить предыдущий ответ.

Определите кинетическую энергию автомобиля и угловую скорость колёс на "пике" дороги $\omega_T$. Выразите ответы через $a$,$m$, $M$ и $v_0$.

Кинетическая энергия всего автомобиля складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения колёс (по теореме Кёнига). Угловую скорость колёс можно вычислить, зная скорость движения автомобиля и расстояние от оси колёс до точки соприкосновения с дорогой:
\[ v(t) = \omega(t) \cdot r(t), \rightarrow \omega(t) = \dfrac{v(t)}{r(t)} \]Когда автомобиль находится на "пике" дороги, расстояние от оси до точки соприкосновения равно $a$, следовательно:

Тогда для вычисления кинетической энергии по теореме Кёнига:
\[ E_{\text{kin}} = E_{\text{translate}} + E_{\text{rotate}} = \Big(M + 2m\Big ) \dfrac{v_0^2}{2} + \dfrac{I\omega_T^2}{2},\]откуда находим:

Пользуясь законом сохранения энергии получите угловую скорость колёс на "впадине" дороги $\omega_V$. Выразите ответы через $a$,$m$, $M$ и $v_0$.

Кинетическая энергия сохраняется в течение всего движения, тогда можно вычислить угловую скорость вращения колёс, зная расстояние от оси до точки соприкосновения. На "впадине" дороги это расстояние равно $\sqrt{2}a$:
\[ E_{\text{kin}} = \Big(M + 2m\Big ) \dfrac{v^2}{2} + \dfrac{I\omega^2}{2} = \Big(M + 2m\Big ) \dfrac{(\omega \cdot r)^2}{2} + \dfrac{I\omega^2}{2},\]\[ E_{\text{kin}} = \Big(M + 2m\Big ) \dfrac{(\omega \cdot r)^2}{2} + \dfrac{2ma^2\omega^2}{2\cdot 3} = \dfrac{\omega^2}{2} \cdot \Big (r^2(M+2m)+a^2\dfrac{2m}{3}\Big),\]Подставим $r = \sqrt{2}a$:
\[ E_{\text{kin}} = \omega_{V}^2a^2\dfrac{3M+8m}{3},\]и равна изначальной кинетической энергии:
\[ \omega_{V}^2a^2\dfrac{3M+8m}{3} = \dfrac{3M + 10m}{6} \cdot v_0^2, \]откуда:

Так как точка соприкосновения колеса и дороги всегда находится ровно под осью, запишем расстояние от оси колёс до уровня "впадины" – оно сохраняется:
\[ GO = G^\prime O^\prime = G^\prime T^\prime + T^\prime O^\prime, \]

Заметим, что угол наклона дороги и угол наклона касательной к дороге равны, тогда
\[ \tan \alpha = -y^\prime(x),\]продифференцируем уравнение для формы дороги, чтобы вычислить тангенс угла наклона:
\[ y^\prime(x) = -\dfrac{h}{2a} (e^{x/a}-e^{-x/a})\],
откуда получаем

Выразим $\cos \alpha$ через $\tan \alpha$, из основного тригонометрического тождества: \[ \cos \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \alpha}},\] собирая вместе результаты пунктов B1 и B2:

\[ \sqrt{2}a = a\sqrt{1+\tan^2\alpha} + k - h\cdot\dfrac{e^{x/a}+e^{-x/a}}{2},\]

\[ \sqrt{2}a = a\sqrt{1+(\dfrac{h}{2a} (e^{x/a}-e^{-x/a}))^2} + k - h\cdot\dfrac{e^{x/a}+e^{-x/a}}{2},\]

\[ \Big(\sqrt{2}a-k + h\cdot \dfrac{e^{x/a}+e^{-x/a}}{2}\Big)^2 = a^2+\Big(\dfrac{h}{2} (e^{x/a}-e^{-x/a})\Big)^2\]

Уравнение должно выполняться в любой точке дороги, рассмотрим точку $x = 0$, тогда $e^{x/a}=e^{-x/a}=1$:

\[ \Big( \sqrt{2}a-k+h\Big)^2 = a^2 \rightarrow \dfrac{k-h}{a} = \sqrt{2}-1,\]

тогда уравнение приобретает вид:

\[ \Big(a-h + h\cdot \dfrac{e^{x/a}+e^{-x/a}}{2}\Big)^2 = a^2+\Big(\dfrac{h}{2} (e^{x/a}-e^{-x/a})\Big)^2\]

\[ \Big(a+ h\cdot \Big(\dfrac{e^{x/a}+e^{-x/a}}{2}-1\Big)\Big)^2 = a^2+\Big(\dfrac{h}{2} (e^{x/a}-e^{-x/a})\Big)^2,\]

раскроем скобки:

\[ 2ah\Big(\dfrac{e^{x/a}+e^{-x/a}}{2}-1\Big) + h^2 \Big(\dfrac{e^{x/a}+e^{-x/a}}{2}-1\Big)^2 = h^2 \Big(\dfrac{e^{x/a}-e^{-x/a}}{2}\Big)^2\]

\[ ah(e^{x/a}+e^{-x/a}-2) -h^2(e^{x/a}+e^{-x/a})+h^2 = -h^2 \]

\[ (ah-h^2)(e^{x/a}+e^{-x/a}) = 2ah-2h^2, \]

что выполняется в любой точке при $a = h$, откуда получаем:

Зная значения $k$ и $h$ уравнение для формы дороги принимает вид:
\[ y(x) = a\Big(\sqrt{2}-\dfrac{e^{x/a}+e^{-x/a}}{2} \Big )\]Чтобы определить длину бугра дороги, посмотрим на координаты $x$ во "впадинах", то есть при $y=0$:
\[ 0 = a\Big(\sqrt{2}-\dfrac{e^{x/a}+e^{-x/a}}{2} \Big ) \rightarrow 2\sqrt{2} = e^{x/a}+e^{-x/a}\]Для решения такого уравнения введём вспомогательную величину $z = e^{x/a}$:
\[ 2\sqrt{2} = z+\dfrac{1}{z} \rightarrow z^2 - 2\sqrt{2}z + 1 = 0, \]откуда находим:
\[ z = \sqrt{2} \pm 1, \rightarrow e^{x/a} = \sqrt{2} \pm 1,\]рассмотрим $x>0$, тогда остаётся один корень:
\[ e^{x/a} = \sqrt{2}+1 \rightarrow \dfrac{x}{a} = \log(\sqrt{2}+1), \]тогда координаты "впадин":
\[ x_d = a\log(\sqrt{2}+1), x_s = -a\log(\sqrt{2}+1), \]откуда находим длину бугра дороги:

Из пункта A3 знаем, что можно выразить угловую скорость автомобиля через расстояние от оси до точки соприкосновения с дорогой:

\[ \dfrac{\omega^2}{2} \cdot \Big (r^2(M+2m)+a^2\dfrac{2m}{3}\Big) = \dfrac{3M + 10m}{6} \cdot v_0^2 \]

Расстояние $r(x)$ можно выразить, зная форму дороги:

\[ r(x) = \sqrt{2}a - y(x) \]

Решая эту систему найдём: