Logo
Logo

Физика резины

Задачи
Корзина недоступна
Чтобы пользоваться корзиной для создания наборов задач, авторизуйтесь.

Подсказки

A1  0.40 Найдите число микроскопических состояний $\Gamma$, с помощью которых реализуется макроскопическое, в котором разность числа звеньев, ориентированных по и против оси $x$ равна $m = n_1 - n_2$. Получите также приближённый ответ при $m \ll n$. Ответы выразите через $m$ и $n$.

H1 Нужно выбрать $n_1$ звеньев, которые ориентированы в положительном направлении оси $x$. При этом автоматически оставшиеся $n_2 = n - n_1$ будут ориентированы в отрицательном направлении.
H2 Когда порядок, в котором выбираются объекты, неважен, количество способов выбрать $n_1$ объект задаётся числом сочетаний $C_n^{n_1}$.
A2  0.80 Покажите, что при $ h_x \ll n a$ энтропия молекулы имеет вид
$$
S = S_0 - \gamma h_x^2.
$$Выразите коэффициент $\gamma$ через $n$, $a$ и $k$.

H1 Воспользуйтесь статистическим определением энтропии.
A3  0.60 Вероятность того, что конец молекулы лежит в интервале $[h_x, h_x + d h_x]$ ширины $dh_x \gg a$, равна $f(h_x) dh_x$. Покажите, что при $|h_x| \ll na$ плотность вероятности $f(h_x)$ имеет вид $$ f(h_x) = A \exp(-\alpha h_x^2) $$ и выразите постоянные $A$ и $\alpha$ через $n$ и $a$. Считайте, что направления звеньев цепи независимы друг от друга и равновероятны.

Примечание: при повороте одного звена $h_x$ меняется на $2a$.

H1 Чему равна вероятность $p(h_x)$ того, что смещение конца молекулы принимает заданное значение $h_x$?
H2 Необходимо перейти от дискретного распределения к непрерывному. Как связаны $p(h_x)$ и плотность вероятности $f(h_x)$?
H3 $f(h_x)\,dh_x = p(h_x)\,dN$, где $dN = dh_x/2a$. Таким образом можно найти $A$ и $\alpha$. Альтернативно, зная $\alpha$, можно воспользоваться условием нормировки.
B1  0.50 Чему равно $\langle h^2\rangle $ и $\langle h_x^2\rangle $ для трёхмерной цепочки? Ответы выразите через $n$ и $l$.

Примечание: если Вы не смогли выполнить этот пункт, далее во всей задаче можете считать $\langle h_x^2\rangle = nl^2$.

H1 Представьте $\vec{h}$ в виде суммы $n$ векторов длины $l$. Далее учтите, что векторы ориентированы независимо друг от друга и равновероятно во всех направлениях.
H2 Зная $\langle h^2\rangle$, можно найти $\langle h_x^2\rangle$, пользуясь теоремой Пифагора и равноправием всех направлений.
B2  1.00 Чему равно среднее расстояние между концами цепочки $\langle h \rangle$? Ответ выразите через $n$ и $l$.

H1 Для нахождения $\langle h \rangle$ нужно восстановить распределение. Это можно сделать несколькими способами. Можно воспользоваться условием нормировки и значением $\langle h^2\rangle$. Альтернативно можно заметить, что плотность распределения распадается в произведение плотностей вероятности по осям: $A\exp(-\beta h^2) \,dh_x\,dh_y\,dh_z = (A^{1/3}\exp(-\beta h_x^2) dh_x)(A^{1/3}\exp(-\beta h_y^2) dh_y)(A^{1/3}\exp(-\beta h_z^2) dh_z)$. Тогда коэффициент $\beta$ можно найти из условия того, что для нормального распределения $\beta$ связано с дисперсией $\langle h_x^2\rangle$: $\beta = 1/(2\langle h_x^2\rangle)$. Наиболее красивым способом ответить на этот пункт является использование готовых результатов для распределения Максвелла, которое устроено аналогично распределению молекул по $h$. Рекомендуется проделать все указанные способы.
B3  1.50 Найдите величину среднего смещения второго конца молекулы $h$. Ответ выразите через $F$, $T$, $n$, $l$ и $k$. Получите точное выражение и приближённое при малых $F$.

H1 Необходимов воспользоваться распределением Больцмана по телесным углам для потенциальной энергии $U = -Fl\cos\theta$.
H2 Для вычисления интеграла $\int\limits xe^x dx$ можно воспользоваться формулой интегрирования по частям.
B4  0.50 Постройте график зависимости длины молекулы $h$ от приложенной силы. Укажите характерные значения.

H1 Как ведёт себя зависимость при больших и малых $F$?
H2 При малых $F$ справедливо разложение из пункта B3, т.е. при малых $F$ имеем $h\sim F$. При больших $F$ все звенья ориентированы практически вдоль оси $x$, молекула максимальна вытянута.
С1  0.70 Чему равно изменение энтропии $\Delta S$ всей сетки в результате растяжения? Ответ выразите через $k,~\lambda_x,~\lambda_y,~\lambda_z$ и $N$. 

Примечание: если Вы не смогли сделать B1, то используйте $\langle h_x^2\rangle = nl^2$.

С2  0.60 Рассмотрим растяжение в случае, когда силы прикладываются вдоль одной из осей и растягивают образец вдоль этой оси в $\lambda$ раз, а напряжения вдоль других осей отсутствуют. Чему равно изменение энтропии образца? Ответ выразите через $k,~\lambda$ и $N$.

H1 Несмотря на то, что образец растягивают вдоль одной из осей, по другим направлениям образец также испытывает деформацию.
H2 Воспользуйтесь условием несжимаемости образца.
C3  0.60 Пользуясь первым началом термодинамики для изотермического процесса и результатом пункта C2, покажите, что уравнение состояния резины (зависимость силы упругости от растяжения и температуры) имеет вид: \[ F(\lambda,T) = \beta(T) \left(\lambda-\dfrac{1}{\lambda^2}\right).\] Найдите $\beta$. Ответ выразите через $k,~N,~T$ и длину образца в нерастянутом состоянии $l_0$.

H1 Запишите первое начало термодинамики в терминах энтропии и силы упругости.
C4  0.80 Покажите, что при малых деформациях справедлив закон Гука. Найдите модуль Юнга $E$ резины. Ответ выразите через $k,~T$ и концентрацию $\nu$ полимерных цепей в образце. Рассчитайте численное значение модуля Юнга, если плотность резины $\rho = 1200~\text{кг}/\text{м}^3$, молярная масса $\mu = 10^5~\text{г}/\text{моль}$, температура $T = 300~\text{К}$.

H1 Разложите выражение из пункта C3 по относительному удлиннию $\varepsilon = \lambda - 1 \ll 1$.
D1  0.20 Запишите выражение для $U_\text{терм}$. Ответ выразите через теплоёмкость при постоянной длине $C_l$ и $T$. Считайте, что $C_l$ не зависит от температуры.

D2  1.20 Найдите выражение для $U_\text{мех}$. Ответ выразите через $V,~\varepsilon,~T,~E(T)$ и $dE(T)/dT$.

H1 На какой изотерме подводится тепло? Запишите первое начало термодинамики для данного участка и учтите, что изменение внутренней энергии отлично от нуля, поскольку внутренняя энергия зависит не только от температуры.
H2 Растяжение и сжатие происходит при постоянной температуре с постоянным модулем Юнга. Работа при растяжении и сжатии может быть найдена интегрированием закона Гука.
H3 Воспользуйтесь выражением для КПД цикла Карно.
D3  0.40 Пусть при температуре $T_0$ модуль Юнга резины равен $E_0$. Найдите модуль Юнга $E$ при температуре $T$ в модели «идеальной резины». Ответ выразите через $E_0,~T_0$ и $T$.

H1 Воспользуйтесь результатом пункта D2 и "идеальностью" резины $U_\text{мех} = 0$.
E1  0.80 Получите выражение для $\Delta T$. Ответ выразите через $E_0,\,S_0,\,l_0,\,C_l,\,\alpha,\,T_0$ и $\lambda$. Считайте, что $\Delta T = T - T_0 \ll T_0$.

E2  0.50 Постройте качественный график $\Delta T(\lambda)$.

H1 Как ведёт себя зависимость при больших $\lambda$ и $\lambda - 1 \ll 1 $?
E3  0.50 При каком растяжении $\lambda_0$ наблюдается смена знака $\Delta T$? В качестве ответа приведите численное значение.

H1 Из вида графика понятно, что нас интересует $\lambda_0$, в которой $\Delta T = 0$. У данного уравнения есть тривиальный корень $\lambda = 1$, а значит в выражении для $\Delta T$ можно вынести множитель $\lambda - 1$. После этого получится квадратное уравнение.
E4  0.40 Чему равно изменение температуры $\Delta T_{1,2}$ образца при растяжении $\lambda_1= 1.1$ и $\lambda_2 = 1.4$? Для расчётов используйте $l_0 = 1~\text{м}$ и $C_l = 150~\text{Дж}/\text{К}$.